Para verificar se a série dada é absolutamente ou simplesmente convergente, vamos analisar:

Série dada

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{n!}.$

Passo 1: Convergência absoluta

A série converge absolutamente se a soma dos valores absolutos dos termos convergir. Vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n 2^n}{n!} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}.$

Para verificar a convergência dessa série, utilizamos o Teste da Razão (ou Teste do Quociente). Para isso, calculamos o limite:

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} \right|.$

Simplificando a fração:

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2 \cdot 2^n \cdot n!}{2^n \cdot (n+1)!} \right|.$

Cancelando $2^n$ e $n!$:

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2}{n+1} \right| = 0.$

Como o limite é 0, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos $\sum \frac{2^n}{n!}$ converge.

Conclusão: A série converge absolutamente

Como a série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{n!}$ converge absolutamente, ela também converge simplesmente (ou condicionalmente).

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Resumo

A série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^n}{n!}$ é absolutamente convergente.

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Tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes sobre os passos?

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1. O que é convergência condicional de uma série?
2. Como funciona o Teste da Razão para verificar convergência?
3. Qual a diferença entre convergência absoluta e condicional?
4. Existe algum outro teste que poderia ser usado nesta série?
5. Como se comportam séries envolvendo fatoriais?

Dica: Para séries alternadas, o Teste da Série Alternada pode ser útil para verificar convergência condicional.