我们考虑级数

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n}.$

步骤 1：用比值判别法确定收敛半径

设 $a_n = \frac{x^n}{2^n}$。计算比值：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{x^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{x^n}{2^n}} = \frac{x}{2}.$

根据比值判别法，级数收敛的条件是：

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{x}{2} \right| < 1.$

解得：

$|x| < 2.$

因此，级数在 $|x| < 2$ 内收敛。

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步骤 2：检查端点 $x = \pm 2$

$x = 2$ 时：

级数为：

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty 1.$

显然，这是一个发散的级数。

$x = -2$ 时：

级数为：

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n.$

这也是一个发散的级数，因为通项并不趋于零。

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结论

综上，级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^n}$ 的收敛区间为：

$(-2, 2).$

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有需要进一步解释的地方吗？以下是与此相关的扩展问题：

1. 如果级数换成 $\sum \frac{(-x)^n}{3^n}$，收敛区间会如何变化？
2. 什么情况下需要用根值判别法代替比值判别法？
3. 幂级数 $\sum c_n x^n$ 的一般收敛半径公式是什么？
4. 对于发散的端点，是否可以利用交错级数测试重新判断？
5. 如何用幂级数展开函数（如 $e^x$）并确定其收敛区间？

提示：幂级数的收敛区间与端点的分析密切相关，请特别注意端点的性质！