لنقم بحل المسألة المرفقة وتحليلها خطوة بخطوة.

نص السؤال:

المطلوب هو تحديد مجال تقارب المتسلسلة:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^{n+1}}{3^n}.$

الحل:

الخطوة الأولى: إعادة كتابة المتسلسلة

لنكتب الحد العام للمتسلسلة: $a_n = \frac{(x+2)^{n+1}}{3^n}.$

لاحظ أن الحد العام يعتمد على $n$ و$x$.

الخطوة الثانية: اختبار التقارب باستخدام نسبة الحدود المتتالية (اختبار النسبة - Ratio Test)

نعتمد اختبار النسبة الذي ينص على: $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|,$ وإذا كان $L < 1$، فإن المتسلسلة تتقارب.

نحسب نسبة الحدود: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(x+2)^{n+2}}{3^{n+1}}}{\frac{(x+2)^{n+1}}{3^n}}.$

نبسط هذه النسبة: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x+2)^{n+2}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x+2)^{n+1}}.$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(x+2) \cdot (x+2)^{n+1}}{3 \cdot 3^n \cdot (x+2)^{n+1}}.$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x+2}{3}.$

الخطوة الثالثة: حساب النهاية

بما أن $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{|x+2|}{3}$ لا يعتمد على $n$، فإن: $L = \frac{|x+2|}{3}.$

الخطوة الرابعة: شرط التقارب

لكي تتقارب المتسلسلة، يجب أن يكون: $L < 1 \implies \frac{|x+2|}{3} < 1.$

نضرب كلا الطرفين في $3$: $|x+2| < 3.$

الخطوة الخامسة: إيجاد مجال التقارب

شرط القيمة المطلقة: $-3 < x+2 < 3.$

نطرح $2$ من جميع الأطراف: $-5 < x < 1.$

الخطوة السادسة: اختبار الأطراف

• عند $x = -5$: تصبح المتسلسلة: $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^{n+1}}{3^n}.$ الحدود لا تتناقص، وبالتالي لا تتقارب.

• عند $x = 1$: تصبح المتسلسلة: $\sum_{n=0}^\infty \frac{3^{n+1}}{3^n}.$ أيضًا لا تتقارب.

النتيجة النهائية:

مجال التقارب هو: $x \in (-5, 1).$

هل تريد توضيحات إضافية أو لديك أي استفسارات؟

أسئلة متعلقة بالمفهوم:

1. ما هي شروط اختبار النسبة؟
2. كيف نحدد مجال التقارب في المتسلسلات ذات القيمة المطلقة؟
3. لماذا لم تتقارب المتسلسلة عند الأطراف؟
4. ما هو الفرق بين تقارب المتسلسلة المطلقة والتقارب العادي؟
5. كيف يمكن التحقق من تقارب المتسلسلة باستخدام اختبارات أخرى؟

نصيحة:

تأكد دائمًا من اختبار الأطراف عند تحديد مجال التقارب لأن بعض المتسلسلات قد تتقارب عندها.