Para hallar el rango de la función:

$f(x) = \frac{x^3 - 3}{2x^2 + 4x^3}$

seguimos estos pasos:

1. Simplificación de la función

Primero, intentemos simplificar la expresión. Factorizamos el denominador.

$f(x) = \frac{x^3 - 3}{2x^2(1 + 2x)}$

2. Determinar los puntos críticos (donde la función podría ser indeterminada)

• El denominador no puede ser igual a cero, ya que esto implicaría que la función no está definida en esos puntos.

Para $f(x)$ no esté definida, necesitamos que:

$2x^2(1 + 2x) = 0$

Esto ocurre en: $x^2 = 0 \quad \text{y} \quad 1 + 2x = 0$

Por lo tanto: $x = 0 \quad \text{o} \quad x = -\frac{1}{2}$

Así, la función no está definida en $x = 0$ ni en $x = -\frac{1}{2}$.

3. Determinar límites en los extremos y posibles asíntotas horizontales

Veamos el comportamiento de la función cuando $x \to \infty$ y $x \to -\infty$:

• Cuando $x \to \infty$:

$f(x) = \frac{x^3 - 3}{2x^2(1 + 2x)} \approx \frac{x^3}{2x^3} = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{1}{2}$.

• Cuando $x \to -\infty$:

$f(x) = \frac{x^3 - 3}{2x^2(1 + 2x)} \approx \frac{x^3}{2x^3} = \frac{1}{2}$

De nuevo, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{1}{2}$.

4. Determinar el rango

Para hallar el rango, analizamos si la función puede tomar todos los valores posibles entre $-\infty$ y $\infty$.

Además de las asíntotas horizontales en $y = \frac{1}{2}$, hay discontinuidades en $x = 0$ y $x = -\frac{1}{2}$, lo que indica que la función tiene saltos o discontinuidades allí.

Finalmente, al analizar la función, observamos que los valores de $f(x)$ estarán principalmente alrededor de $\frac{1}{2}$, y debido a las discontinuidades, el rango será:

$R_f = \mathbb{R} - \left\{ \frac{1}{2} \right\}$

Es decir, el rango de la función es el conjunto de todos los números reales excepto $\frac{1}{2}$.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí hay 5 preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se determinan las discontinuidades de una función racional?
2. ¿Qué son las asíntotas y cómo afectan el rango de una función?
3. ¿Cómo se simplifican expresiones racionales como esta?
4. ¿Qué sucede en los puntos donde el denominador de una función es cero?
5. ¿Cómo se analizan los límites al infinito en funciones racionales?

Tip: Recuerda que al buscar el rango de una función racional, es clave observar el comportamiento en los extremos y en las discontinuidades.