Pour montrer que la fonction $g(x)$ n'est pas continue en $x_0 = 1$, nous devons vérifier les trois conditions de continuité en ce point. Voici les étapes détaillées :

1. Rappel de la définition de la continuité

Une fonction $g(x)$ est continue en un point $x_0$ si :

$\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) = g(1)$

Cela signifie que la limite de $g(x)$ en $x = 1$ doit exister et être égale à la valeur de la fonction en $x = 1$.

Nous avons $g(1) = 3$, donc il reste à vérifier si la limite de $g(x)$ quand $x \to 1$ existe et est égale à 3.

2. Calcul de la limite de $g(x)$ quand $x \to 1$

La fonction est définie par :

$g(x) = \frac{\sqrt{x^2 + x + 2} - 2}{x - 1} \quad \text{si} \quad x \neq 1$

Essayons de calculer la limite :

$\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + x + 2} - 2}{x - 1}$

Si nous remplaçons directement $x = 1$, cela donne une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, car :

$\sqrt{1^2 + 1 + 2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$ et $1 - 1 = 0$

Pour lever cette indétermination, utilisons une technique de rationalisation en multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

$g(x) = \frac{\left(\sqrt{x^2 + x + 2} - 2\right)}{x - 1} \cdot \frac{\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}{\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}$

Cela donne :

= \frac{x^2 + x - 2}{(x - 1)\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}$$ Nous pouvons factoriser $$x^2 + x - 2$$ comme suit : $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ Donc : $$g(x) = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}$$ En simplifiant, nous obtenons : $$g(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + 2}$$ ### 3. Calcul de la limite simplifiée Nous pouvons maintenant calculer la limite de cette expression lorsque $$x \to 1$$ : $$\lim_{x \to 1} g(x) = \frac{1 + 2}{\sqrt{1^2 + 1 + 2} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$$ ### 4. Conclusion sur la continuité La limite de $$g(x)$$ quand $$x \to 1$$ est $$\frac{3}{4}$$, mais la valeur de $$g(1)$$ est donnée comme étant $$g(1) = 3$$. Comme la limite de $$g(x)$$ en $$x = 1$$ n'est pas égale à la valeur de la fonction en ce point ( $$\frac{3}{4} \neq 3$$ ), la fonction $$g(x)$$ **n'est pas continue en $$x = 1$$**. ### Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? #### Questions pour approfondir : 1. Quelles sont les conditions générales de continuité d'une fonction ? 2. Comment peut-on utiliser la technique de rationalisation dans d'autres contextes de limite ? 3. Pourquoi $$g(1) = 3$$ malgré que la limite soit $$\frac{3}{4}$$ ? 4. Quelle est l'importance de la valeur de la fonction en un point dans la définition de continuité ? 5. Dans quelles autres situations les formes indéterminées apparaissent-elles dans le calcul des limites ? #### Astuce : Pour lever une indétermination de type $$\frac{0}{0}$$, essayez de factoriser ou de rationaliser l'expression.