soit la fonction g(x) = $$ \frac{\left(\sqrt{x^2+x+2\text{ }}-2\right)}{x-1} $$ si x$$ \ne1\text{ et }g\left(1\right)\text{ }=\,3 $$ ; montrer que la fonction g n'est pas continue sur en $$ x_0=\text{ }1 $$

Pour montrer que la fonction $ g(x) $ n'est pas continue en $ x_0 = 1 $, nous devons vérifier les trois conditions de continuité en ce point. Voici les étapes détaillées :

### 1. Rappel de la définition de la continuité
Une fonction $ g(x) $ est continue en un point $ x_0 $ si :

\[
\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) = g(1)
\]

Cela signifie que la limite de $ g(x) $ en $ x = 1 $ doit exister et être égale à la valeur de la fonction en $ x = 1 $.

Nous avons $ g(1) = 3 $, donc il reste à vérifier si la limite de $ g(x) $ quand $ x \to 1 $ existe et est égale à 3.

### 2. Calcul de la limite de $ g(x) $ quand $ x \to 1 $
La fonction est définie par :

\[
g(x) = \frac{\sqrt{x^2 + x + 2} - 2}{x - 1} \quad \text{si} \quad x \neq 1
\]

Essayons de calculer la limite :

\[
\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + x + 2} - 2}{x - 1}
\]

Si nous remplaçons directement $ x = 1 $, cela donne une forme indéterminée $ \frac{0}{0} $, car :

\[
\sqrt{1^2 + 1 + 2} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0
\]
et
\[
1 - 1 = 0
\]

Pour lever cette indétermination, utilisons une technique de rationalisation en multipliant le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

\[
g(x) = \frac{\left(\sqrt{x^2 + x + 2} - 2\right)}{x - 1} \cdot \frac{\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}{\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}
\]

Cela donne :

\[
g(x) = \frac{\left(x^2 + x + 2 - 4\right)}{\left(x - 1\right)\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}
= \frac{x^2 + x - 2}{(x - 1)\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}
\]

Nous pouvons factoriser $ x^2 + x - 2 $ comme suit :

\[
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
\]

Donc :

\[
g(x) = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)\left(\sqrt{x^2 + x + 2} + 2\right)}
\]

En simplifiant, nous obtenons :

\[
g(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + 2}
\]

### 3. Calcul de la limite simplifiée
Nous pouvons maintenant calculer la limite de cette expression lorsque $ x \to 1 $ :

\[
\lim_{x \to 1} g(x) = \frac{1 + 2}{\sqrt{1^2 + 1 + 2} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}
\]

### 4. Conclusion sur la continuité
La limite de $ g(x) $ quand $ x \to 1 $ est $ \frac{3}{4} $, mais la valeur de $ g(1) $ est donnée comme étant $ g(1) = 3 $.

Comme la limite de $ g(x) $ en $ x = 1 $ n'est pas égale à la valeur de la fonction en ce point ( $ \frac{3}{4} \neq 3 $ ), la fonction $ g(x) $ **n'est pas continue en $ x = 1 $**.

### Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

#### Questions pour approfondir :
1. Quelles sont les conditions générales de continuité d'une fonction ?
2. Comment peut-on utiliser la technique de rationalisation dans d'autres contextes de limite ?
3. Pourquoi $ g(1) = 3 $ malgré que la limite soit $ \frac{3}{4} $ ?
4. Quelle est l'importance de la valeur de la fonction en un point dans la définition de continuité ?
5. Dans quelles autres situations les formes indéterminées apparaissent-elles dans le calcul des limites ?

#### Astuce :
Pour lever une indétermination de type $ \frac{0}{0} $, essayez de factoriser ou de rationaliser l'expression.

soit la fonction g(x) = $$ \frac{\left(\sqrt{x^2+x+2}-2\right)}{x-1} $$ si x$$ \ne1\text{ et }g\left(1\right)\text{ }=3 $$ ; montrer que la fonction g n'est pas continue sur en $$ x_0=\text{ }1 $$

Explore the discontinuity of the function g(x) = (√(x² + x + 2) - 2) / (x - 1) at x = 1. Learn about limit calculation, rationalization techniques, and conditions for function continuity. Ideal for high school seniors and university-level students.

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