Math Problem Statement
نقاط پیوستگی و ناپیوستگی تابع f : [۰; ۱] → Rبا ضابطهی
f(x) =
8<:
۰ x = ۰
۱x
- ⌊۱
x
⌋ ۰ < x ≤ ۱
را بیابید
Solution
برای یافتن نقاط پیوستگی و ناپیوستگی تابع با ضابطهی
\begin{cases} 0 & x = 0 \\ \frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor & 0 < x \leq 1 \end{cases}$$ باید بررسی کنیم که در کدام نقاط این تابع پیوسته یا ناپیوسته است. تابع از دو بخش تشکیل شده است: 1. وقتی $$x = 0$$، مقدار تابع برابر صفر است. 2. وقتی $$0 < x \leq 1$$، مقدار تابع برابر است با $$\frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor$$. ### بررسی تابع در نقطه $$x = 0$$ برای پیوستگی تابع در $$x = 0$$ باید شرط زیر برقرار باشد: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ از آنجایی که در $$x = 0$$ داریم $$f(0) = 0$$، کافی است که حد تابع را از سمت راست محاسبه کنیم. وقتی $$x$$ به صفر نزدیک می‌شود، $$\frac{1}{x}$$ به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و به همین دلیل مقدار $$\lfloor \frac{1}{x} \rfloor$$ نیز بزرگ می‌شود و مقدار $$\frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor$$ به یک مقدار نوسانی بین ۰ و ۱ می‌رسد. بنابراین حد در این نقطه وجود ندارد و تابع در $$x = 0$$ ناپیوسته است. ### بررسی تابع در بازه‌ی $$0 < x \leq 1$$ برای بازه‌ی $$0 < x \leq 1$$، تابع به صورت $$\frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor$$ تعریف شده است. این بیان، بخش کسری عدد $$\frac{1}{x}$$ را نشان می‌دهد و مقداری بین ۰ و ۱ دارد. از آنجایی که تابع از این فرم استفاده می‌کند، می‌توان گفت که در این بازه پیوسته است و ناپیوستگی در نقاط درونی این بازه وجود ندارد. ### نتیجه‌گیری تابع $$f(x)$$ در تمام نقاط بازه $$(0, 1]$$ پیوسته است و تنها در نقطه $$x = 0$$ ناپیوسته است. آیا تمایل دارید جزئیات بیشتری برای درک بهتر موضوع ببینید یا سوال دیگری دارید؟ --- **سوالات مرتبط:** 1. چگونه می‌توانیم ناپیوستگی‌ها را در سایر توابع مشابه تشخیص دهیم؟ 2. چرا حد تابع $$f(x)$$ در $$x = 0$$ وجود ندارد؟ 3. چه نوع توابعی به طور کلی ناپیوستگی دارند؟ 4. چگونه می‌توان با استفاده از جز صحیح، رفتار تابع را در بازه‌های کوچک توصیف کرد؟ 5. آیا می‌توان ناپیوستگی‌ها را با تغییر ضابطهی تابع از بین برد؟ **نکته:** برای بررسی پیوستگی توابع چند بخشی، ابتدا باید حدها را از چپ و راست در نقاط مرزی محاسبه کنید.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity
Discontinuity
Piecewise Functions
Fractional Part Function
Formulas
f(x) = \begin{cases} 0 & x = 0 \\ \frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor & 0 < x \leq 1 \end{cases}
Continuity condition: \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
Theorems
Continuity at a point
Limit of a function at a point
Suitable Grade Level
Grade 11-12 or early university level
Related Recommendation
Discussing the Continuity of a Piecewise Function f(x)
Determine Continuity of a Piecewise Function f(x) with Different Expressions for x ≤ 1 and x > 1
Continuity and Discontinuity of the Piecewise Function with Floor Function
Graph of Piecewise Function f(x) with Detailed Analysis
Continuity of f([2x]) with Piecewise and Floor Functions