Math Problem Statement
نقاط پیوستگی و ناپیوستگی تابع f : [۰; ۱] → Rبا ضابطهی
f(x) =
8<:
۰ x = ۰
۱x
- ⌊۱
x
⌋ ۰ < x ≤ ۱
را بیابید
Solution
برای یافتن نقاط پیوستگی و ناپیوستگی تابع با ضابطه زیر:
0 & x = 0 \\ \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor & 0 < x \leq 1 \end{cases}$$ ابتدا باید بررسی کنیم که تابع در نقاط مختلف پیوسته است یا نه. ### تحلیل تابع در $$x = 0$$ برای $$x = 0$$، تابع به صورت زیر تعریف شده است: $$f(0) = 0$$ حال باید بررسی کنیم که آیا حد تابع $$f(x)$$ وقتی $$x$$ به $$0$$ نزدیک می‌شود، برابر با $$f(0)$$ است یا نه. برای $$x \to 0^+$$ داریم: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right)$$ به دلیل اینکه عبارت $$\frac{1}{x}$$ به سمت بی‌نهایت می‌رود، جزء صحیح آن ($$\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$$) همواره تغییر می‌کند و حد خاصی برای این عبارت وجود ندارد. بنابراین، تابع در $$x = 0$$ ناپیوسته است. ### تحلیل تابع برای $$0 < x \leq 1$$ برای $$0 < x \leq 1$$، تابع به صورت زیر تعریف شده است: $$f(x) = \frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$$ در این حالت، تابع $$f(x)$$ مقدار کسر قسمت اعشاری $$\frac{1}{x}$$ را می‌دهد، که در بازه $$(0, 1)$$ همواره بین ۰ و ۱ تغییر می‌کند و پیوسته است. اما در نقاط خاصی از این بازه (مانند $$x = \frac{1}{n}$$، که $$n$$ یک عدد صحیح است)، تابع دچار پرش می‌شود زیرا قسمت صحیح $$\frac{1}{x}$$ تغییر می‌کند و مقدار تابع از نزدیک به ۱ به نزدیک به ۰ می‌پرد. بنابراین، تابع $$f(x)$$ در نقاط زیر ناپیوسته است: - $$x = 0$$ - در نقاط $$x = \frac{1}{n}$$ برای $$n = 2, 3, 4, \dots$$ آیا مایلید جزئیات بیشتری در مورد این تحلیل بدانید یا سوال دیگری دارید؟ ### سوالات مرتبط: 1. چگونه می‌توان برای تابع‌های کسر اعشاری حدود را به‌طور دقیق‌تری یافت؟ 2. چگونه تابع‌هایی که دارای پرش در نقاط خاص هستند را تحلیل کنیم؟ 3. آیا روش مشابهی برای بررسی پیوستگی تابع‌های گسسته وجود دارد؟ 4. چه تکنیک‌هایی برای محاسبه جزء صحیح توابع کسر اعشاری به‌کار می‌رود؟ 5. چگونه می‌توان پیوستگی تابع‌ها را با استفاده از نمودار بهتر تحلیل کرد؟ **نکته:** همیشه برای بررسی پیوستگی، مقدار تابع و حدهای راست و چپ را در نظر بگیرید و با هم مقایسه کنید.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity
Discontinuity
Piecewise Functions
Floor Function
Formulas
f(x) = 0 when x = 0
f(x) = 1/x - ⌊1/x⌋ for 0 < x ≤ 1
Theorems
Continuity at a point
Limit as x approaches a point
Floor function properties
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Continuity and Discontinuity of the Function f(x) in the Interval [0,1]
Determine Discontinuity of a Piecewise Function with f(x) = 1/(x - 3) and f(x) = 1/2
Understanding Piecewise Function with 1/x and Continuity at x = 0
Why f(x) = { x^2 if x ≠ 0, 1 if x = 0 } is Not Continuous at x = 0
Piecewise Function Analysis: Continuity and Limits for x ≤ 3 and x > 3