La fonction partie entière, notée $\lfloor x \rfloor$, associe à tout nombre réel $x$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Elle est aussi appelée fonction plancher.

Propriétés de la fonction partie entière

1. Discontinuité : La fonction $\lfloor x \rfloor$ n'est pas continue partout. En effet, elle présente des discontinuités aux entiers $n \in \mathbb{Z}$ puisque la valeur de $\lfloor x \rfloor$ saute soudainement d'un entier à l'autre lorsque $x$ passe d'un côté à l'autre de $n$. $\lim_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n-1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n.$ Cela montre qu'il y a une discontinuité de saut à chaque entier.

2. Continuité sur les intervalles ouverts : La fonction $\lfloor x \rfloor$ est continue sur tout intervalle ouvert de la forme $(n, n+1)$, où $n \in \mathbb{Z}$, car sur ces intervalles, la fonction prend une valeur constante.

Exemple d'analyse

• Pour $x = 2.5$, la partie entière $\lfloor 2.5 \rfloor = 2$.
• Pour $x = 3$, la partie entière $\lfloor 3 \rfloor = 3$, mais autour de $3$, on observe que la fonction saute de 2 à 3, ce qui crée une discontinuité.

Conclusion

La fonction partie entière est discontinue en chaque entier, mais elle est continue sur les intervalles ouverts compris entre ces entiers.

---

Questions relatives :

1. Comment caractériser la discontinuité de la fonction partie entière en termes de limites gauche et droite ?
2. Peut-on définir une fonction similaire à la partie entière qui soit continue ? Si oui, laquelle ?
3. Quelles autres fonctions présentent des discontinuités similaires à la fonction partie entière ?
4. Comment la partie entière est-elle utilisée dans la définition de la fonction de Dirichlet ?
5. Comment calculer l'intégrale d'une fonction utilisant la partie entière ?

Tip :

Pour bien comprendre la continuité d'une fonction, il est utile d'examiner son comportement local en observant les limites à gauche et à droite de chaque point d'intérêt.