La oss analysere påstandene en etter en:

---

a) En funksjon som er kontinuerlig i $x = a$ er også deriverbar i $x = a$

Svar: Feil.

En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar. For eksempel, absoluttverdifunksjonen $f(x) = |x|$ er kontinuerlig i $x = 0$, men den er ikke deriverbar der fordi venstre- og høyresidens derivater ikke er like.

---

b) En tredjegradsfunksjon kan ha to tangenter med lik stigningstall.

Svar: Riktig.

En tredjegradsfunksjon $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ har som derivert $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Denne deriverte er en andregradsligning, som kan ha to ulike løsninger for samme $f'(x)$, altså to punkter på grafen med samme stigningstall.

---

c) En funksjon med definisjonsmengde $(-\infty, a) \cup [a, \infty)$ er kontinuerlig i $x = a$

Svar: Det avhenger av ytterligere informasjon.

At en funksjon er definert på $(-\infty, a) \cup [a, \infty)$ betyr at den er brutt på $x = a$. For at funksjonen skal være kontinuerlig i $x = a$, må følgende kriterier oppfylles:

1. Funksjonen må være definert på $x = a$.
2. Grensene fra venstre og høyre må eksistere og være like: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a).$

Uten spesifikasjon om at disse grensene eksisterer og er like, kan vi ikke konkludere. I praksis er funksjoner med slike definisjonsmengder ofte ikke kontinuerlige i $x = a$.

---

Har du flere spørsmål eller ønsker detaljer om bevisene?

---

Relaterte spørsmål:

1. Hva betyr det at en funksjon er deriverbar?
2. Hvordan kan man vise at en funksjon er kontinuerlig med formelle bevis?
3. Hvorfor kan en tredjegradsfunksjon ha to tangenter med lik stigningstall?
4. Hva er sammenhengen mellom kontinuitet og deriverbarhet?
5. Hvordan kan definisjonsmengden påvirke kontinuiteten til en funksjon?

---

Tips:

Husk at alle deriverbare funksjoner er kontinuerlige, men ikke alle kontinuerlige funksjoner er deriverbare.