Math Problem Statement

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn hvorfor:

a)   En funksjon som er kontinuerlige i er også deriverbar i.

b)     En tredjegradsfunksjon kan ha to tangenter med lik stigningstall.

c)   En funksjon med definisjonsmengdeer kontinuerlig i.

Solution

La oss avgjøre om påstandene er sanne eller usanne, med begrunnelse for hver påstand:


a) En funksjon som er kontinuerlig i x=ax = a er også deriverbar i x=ax = a.

Svar: Usann.

Begrunnelse: Kontinuitet betyr at funksjonen ikke har hull eller sprang i x=ax = a, men dette betyr ikke nødvendigvis at den er deriverbar der. For at en funksjon skal være deriverbar i x=ax = a, må grensen for den deriverte eksistere og være lik på begge sider av aa. Et klassisk moteksempel er absoluttverdi-funksjonen f(x)=xf(x) = |x|, som er kontinuerlig i x=0x = 0, men ikke deriverbar der (på grunn av en "knekk").


b) En tredjegradsfunksjon kan ha to tangenter med lik stigningstall.

Svar: Sann.

Begrunnelse: En tredjegradsfunksjon f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d har en deriverte f(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, som er en andregradsfunksjon. En andregradsfunksjon kan ha maksimalt to løsninger for f(x)=kf'(x) = k (der kk er stigningstallet). Dermed kan en tredjegradsfunksjon ha to tangenter med samme stigningstall, gitt at den deriverte har to ulike løsninger.


c) En funksjon med definisjonsmengde DfD_f er kontinuerlig i xDfx \in D_f.

Svar: Usann.

Begrunnelse: Selv om en funksjon er definert i xDfx \in D_f, betyr det ikke nødvendigvis at den er kontinuerlig overalt i dette området. Kontinuitet krever at funksjonen ikke har hull, sprang eller asymptoter i xDfx \in D_f. For eksempel, funksjonen f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} har definisjonsmengden Df=R{0}D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}, men den er ikke kontinuerlig i nærheten av x=0x = 0, fordi den har en vertikal asymptote der.


Ønsker du utdypning om et spesifikt punkt?

Videre spørsmål:

  1. Hva er de nødvendige og tilstrekkelige betingelsene for deriverbarhet?
  2. Kan en andregradsfunksjon ha flere enn to tangenter med lik stigningstall?
  3. Hva er et eksempel på en funksjon som er kontinuerlig, men ikke deriverbar, og hvorfor?
  4. Hvordan kan vi bestemme kontinuitet for en sammensatt funksjon?
  5. Hva er forskjellen mellom punktkontinuitet og uniform kontinuitet?

Tips: Når du evaluerer kontinuitet, kontroller alltid om grenseverdien eksisterer og stemmer overens med funksjonsverdien.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Continuity
Differentiability
Tangent Lines
Polynomial Functions

Formulas

Derivative of a polynomial function: f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
Conditions for continuity at x = a: lim_{x→a} f(x) = f(a)

Theorems

The relationship between continuity and differentiability
Fundamental properties of polynomial functions

Suitable Grade Level

Grades 10-12