За да решим задачата, трябва да определим разстоянието от върха на конуса до равнината, която минава през центъра на вписаното кълбо. Ще използваме следните обозначения:

• $R$ е радиусът на основата на конуса;
• $h$ е височината на конуса;
• $l$ е дължината на образуващата на конуса, която е дадена като $l = 6$;
• $r$ е радиусът на вписаното кълбо;
• $d$ е разстоянието от върха на конуса до равнината, която минава през центъра на кълбото;
• $S$ е лицето на кръговия венец, което е дадено като $S = 4\pi$.

1. Основни свойства на равностранен конус

За равностранен конус дължината на образуващата $l$, височината $h$, и радиусът на основата $R$ са свързани със съотношение от Питагоровата теорема: $l^2 = R^2 + h^2$ При дадено $l = 6$, имаме: $6^2 = R^2 + h^2 \quad \Rightarrow \quad 36 = R^2 + h^2$

2. Вписано кълбо в конус

Радиусът $r$ на вписаното кълбо в конуса може да се намери по формулата: $r = \frac{R h}{\sqrt{R^2 + h^2}} = \frac{R h}{l}$

3. Лице на кръговия венец

Лицето на кръговия венец се намира като разликата между лицето на сечението на конуса и лицето на сечението на кълбото. Ако обозначим радиуса на сечението на конуса на разстояние $d$ от върха като $r_1$, а радиуса на сечението на кълбото като $r_2$, то лицето на венец е: $S = \pi (r_1^2 - r_2^2)$ и е дадено, че това лице е $4\pi$. Следователно: $r_1^2 - r_2^2 = 4$

4. Изразяване на $r_1$ и $r_2$

• Радиусът на сечението на конуса на разстояние $d$ е: $r_1 = \frac{R}{h}(h - d)$
• Радиусът на сечението на кълбото зависи от позицията на равнината спрямо центъра на кълбото. Ако разстоянието от центъра на кълбото до равнината е $x$, радиусът на сечението на кълбото е: $r_2 = \sqrt{r^2 - x^2}$

5. Решаване

Трябва да намерим $d$, така че да удовлетворява уравнението: $r_1^2 - r_2^2 = 4$ Тук използваме известните стойности за $r_1$ и $r_2$, за да решим задачата.

Заключение

Изчисляването на $d$ изисква заместване на конкретните стойности на параметрите на конуса и кълбото и решаване на уравненията за $r_1$ и $r_2$.