Рассмотрим два отображения:

• $f: \{a, b\} \to \{a\}$,
• $g: \{a, b\} \to \{b\}$.

Мы пытаемся определить, можно ли построить композицию этих отображений, и если да, то какой она будет.

Шаг 1. Определение композиции

Композиция отображений $g \circ f$ — это такое отображение, которое применяется к элементам множества последовательно: сначала $f$, затем $g$. Это означает, что результат применения $f$ к каждому элементу множества становится аргументом для $g$.

Шаг 2. Исследование отображения $f$

Отображение $f$ задается как:

• $f(a) = a$,
• $f(b) = a$.

То есть для любого элемента $x \in \{a, b\}$, результатом $f(x)$ будет $a$.

Шаг 3. Исследование отображения $g$

Отображение $g$ задается как:

• $g(a) = b$,
• $g(b) = b$.

То есть результатом применения $g$ к любому элементу $x \in \{a, b\}$ всегда будет $b$.

Шаг 4. Построение композиции $g \circ f$

Теперь давайте рассмотрим композицию $g \circ f$:

1. Для элемента $a$:

   • Сначала применим $f(a)$, и получим $f(a) = a$,
   • Теперь применим $g$ к результату: $g(a) = b$. Следовательно, $(g \circ f)(a) = b$.

2. Для элемента $b$:

   • Сначала применим $f(b)$, и получим $f(b) = a$,
   • Теперь применим $g$ к результату: $g(a) = b$. Следовательно, $(g \circ f)(b) = b$.

Шаг 5. Вывод

Композиция $g \circ f$ определена для каждого элемента множества $\{a, b\}$ и имеет следующий вид: $(g \circ f)(a) = b \quad \text{и} \quad (g \circ f)(b) = b.$

Таким образом, композиция этих отображений возможна, и она является отображением, которое каждому элементу $\{a, b\}$ ставит в соответствие элемент $b$.

Если есть вопросы по объяснению или нужна дополнительная информация, дайте знать!

Вопросы для дальнейшего размышления:

1. Что произойдет, если поменять местами отображения $f$ и $g$ в композиции?
2. Какую роль играют свойства отображений (сюръективность или инъективность) при построении композиции?
3. Возможно ли построить инъективную композицию из отображений $f$ и $g$?
4. Какие изменения в отображениях $f$ и $g$ привели бы к другой композиции?
5. Какую структуру будет иметь композиция, если поменять множество значений?

Полезный совет:

При изучении композиций отображений всегда полезно внимательно следить за областью определения и множеством значений каждого отображения, чтобы не возникало ошибок при их последовательном применении.