( o , vec i , vec j ) est un repère orthonormé du plan complexe. Soit A (1) et B (2).

1) Déterminer et construire l'ensemble A des points M (z) tel que |z| = |z - 2|

2)

a) Déterminer l'ensemble des points M (z) tel que overline z = 2z +2 overline z .

b) Montrer que A coupe & en deux points C et D dont on précisera les affixes. Construire C et D.

c) Prouver que le quadrilatère OCBD est un losange.

3)

a) Soit M (z) un point de A. Montrer que z+ overline z = 2

b) En déduire que arg z+arg(z-2) equiv pi[2pi]

4) Dans cette question M (z) est un point du plant tel que M \notin Delta on pose z^ prime = z overline z - 1 z+ overline z -2 Soit M' * (z')

a) Montrer que z' est réel. Interpréter le résultat géométriquement.

b) Déterminer l'ensemble I des points M (z) tel que z' = 2

Voici une résolution détaillée de chaque partie de l'exercice :

### 1) Déterminer et construire l'ensemble \( A \) des points \( M(z) \) tels que \( |z| = |z - 2| \)

Cette équation signifie que la distance du point \( M \) à l'origine est égale à sa distance au point \( B(2) \). Géométriquement, cet ensemble est la médiatrice du segment \([0, 2]\), c'est-à-dire l'ensemble des points équidistants de \( O(0) \) et \( B(2) \). 

La médiatrice du segment \([0,2]\) est une droite perpendiculaire à l'axe réel, passant par le milieu du segment, c'est-à-dire \( z = 1 \). Il s'agit donc de la droite verticale d'équation \( x = 1 \), ou en forme complexe \( \text{Re}(z) = 1 \).

**Conclusion :** L'ensemble \( A \) est la droite d'équation \( \text{Re}(z) = 1 \).

### 2)

#### a) Déterminer l'ensemble des points \( M(z) \) tels que \( \overline{z} = 2z + 2 \overline{z} \)

Partons de l'équation donnée : 
\[
\overline{z} = 2z + 2\overline{z}
\]
En isolant \( \overline{z} \), nous obtenons :
\[
\overline{z} - 2\overline{z} = 2z \implies -\overline{z} = 2z \implies z = -

(o , vec i , vec j) est un repère orthonormé du plan complexe. Soit A (1) et B (2).

1) Déterminer et construire l'ensemble A des points M (z) tel que |z| = |z - 2|

2)

a) Déterminer l'ensemble des points M (z) tel que overline z = 2z + 2 overline z.

b) Montrer que A coupe & en deux points C et D dont on précisera les affixes. Construire C et D.

c) Prouver que le quadrilatère OCBD est un losange.

3)

a) Soit M (z) un point de A. Montrer que z + overline z = 2.

b) En déduire que arg z + arg(z-2) equiv pi[2pi].

4) Dans cette question M (z) est un point du plan tel que M \notin Delta on pose z^prime = z overline z - 1 z + overline z -2. Soit M' * (z').

a) Montrer que z' est réel. Interpréter le résultat géométriquement.

b) Déterminer l'ensemble I des points M (z) tel que z' = 2

This complex number geometry problem involves determining points M on the perpendicular bisector and analyzing a rhombus OCBD in the complex plane. The solution includes key concepts like the distance formula, properties of quadrilaterals, and complex conjugate manipulation. Ideal for undergraduate mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation