duke perdorur formulat e moavrit te zgjidhet : 3Power[Sqrt[Power[\Divide[2i,-1-i]\,6]],]

Për të zgjidhur ekuacionin e dhënë duke përdorur **Formulat e Moavrit**, duhet të kuptojmë fillimisht përbërjen komplekse të numrit të dhënë dhe si mund ta shprehim atë në formën **polar**. Le të analizojmë hap pas hapi ekuacionin:

### Ekuacioni: 

\[
3^{\sqrt{\left(\frac{2i}{-1 - i}\right)^6}}
\]

#### Hapi 1: Gjejmë formën polare të numrit kompleks \(\frac{2i}{-1 - i}\).

Fillimisht, duhet ta vendosim këtë numër në formën **polar** \( z = re^{i\theta} \), ku \(r\) është moduli dhe \( \theta \) është këndi.

\[
z = \frac{2i}{-1 - i}
\]

Kjo kërkon që të shumëzojmë me kompleksin e ndërruar të emëruesit:

\[
\frac{2i}{-1 - i} \cdot \frac{-1 + i}{-1 + i} = \frac{2i(-1 + i)}{(-1)^2 - (i)^2} = \frac{2i(-1 + i)}{1 + 1} = \frac{2i(-1 + i)}{2}
\]

Thjeshtojmë:

\[
= i(-1 + i) = -i + i^2 = -i - 1
\]

Pra, numri kompleks është:

\[
z = -1 - i
\]

#### Hapi 2: Shprehim numrin në formë polare.

Tani shohim që \(z = -1 - i\) mund të shprehet në formën polare \( r e^{i\theta} \). Fillimisht, gjejmë modulin \(r\):

\[
r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
\]

Pastaj gjejmë këndin \( \theta \). Duke qenë se \(z = -1 - i\), ky numër gjendet në kuadratin e tretë, dhe këndi është:

\[
\theta = \text{arg}(z) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
\]

Pra, forma polare e \( z = -1 - i \) është:

\[
z = \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}}
\]

#### Hapi 3: Zbatojmë fuqinë e Moavrit.

Tani duhet të llogarisim fuqinë e gjashtë të këtij numri kompleks:

\[
\left(\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}}\right)^6 = \left(\sqrt{2}\right)^6 e^{i\cdot6\cdot\frac{5\pi}{4}}
\]

\[
= 8 e^{i\cdot\frac{30\pi}{4}} = 8 e^{i\cdot\frac{15\pi}{2}} = 8 e^{i\cdot3\pi + i\cdot\frac{\pi}{2}}
\]

Meqenëse \(e^{i2\pi} = 1\), mund të thjeshtojmë:

\[
8 e^{i\cdot\frac{\pi}{2}} = 8i
\]

#### Hapi 4: Tani llogarisim \(3^{\sqrt{(8i)}}\).

Së pari, gjejmë rrënjën katrore të \(8i\):

\[
\sqrt{8i} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{i} = 2\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{8}}
\]

Kështu, fuqia bëhet:

\[
3^{2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{8}}}
\]

Kjo është forma komplekse e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacionit të dhënë duke përdorur formulat e Moavrit.

---

Nëse keni nevojë për sqarime ose detaje të tjera, mos hezitoni të pyesni!

### 5 Pyetje të lidhura:
1. Si mund të përdorim formulat e Moavrit për llogaritjen e fuqive të tjera komplekse?
2. Çfarë është forma polare e një numri kompleks dhe si ndihmon në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse?
3. Pse llogaritja e këndit dhe modulit të një numri kompleks është thelbësore për formulat e Moavrit?
4. Si zbatohet rrënja katrore në numrat kompleksë?
5. Cili është roli i këndit të argumentit në konvertimin e numrave kompleksë nga forma kartesiane në formën polare?

### Këshillë:
Kur përdorni formulat e Moavrit për llogaritje të fuqive komplekse, sigurohuni që të përdorni formën polare për ta thjeshtuar procesin.

duke perdorur formulat e moavrit te zgjidhet : 3Power[Sqrt[Power[\Divide[2i,-1-i],6]]]

This solution demonstrates how to solve a complex exponential equation using De Moivre's theorem. The process involves converting complex numbers to polar form, applying the theorem to powers of complex numbers, and simplifying the results. This method is essential for solving advanced complex equations and is suitable for college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation