Для нахождения цены и выпуска конкурентной фирмы, максимизирующей прибыль, учитывая долгосрочную нормальную прибыль, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение предельных издержек (MC): Найдем производную функции общих затрат $TC = Q^3 - 38Q^2 + 418Q$ по $Q$: $MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 3Q^2 - 76Q + 418$

2. Определение средних издержек (ATC): Средние издержки находятся как: $ATC = \frac{TC}{Q} = Q^2 - 38Q + 418$

3. Долгосрочная равновесная цена: В долгосрочном периоде конкурентная фирма получает нормальную прибыль, то есть цена $P$ равна минимальным средним издержкам $ATC$. Для этого найдем производную $ATC$ по $Q$ и приравняем ее к нулю для нахождения минимума: $ATC' = \frac{d(ATC)}{dQ} = 2Q - 38$ Приравниваем к нулю: $2Q - 38 = 0 \quad \Rightarrow \quad Q = 19$

4. Нахождение цены: Подставляем $Q = 19$ в $ATC$: $ATC = 19^2 - 38 \cdot 19 + 418 = 361 - 722 + 418 = 57$ Таким образом, $P = 57$.

5. Проверка: Цена в конкурентной фирме равна также предельным издержкам в точке максимизации прибыли. Проверим: $MC = 3 \cdot 19^2 - 76 \cdot 19 + 418 = 3 \cdot 361 - 1444 + 418 = 1083 - 1444 + 418 = 57$

Итак, цена $P$ на рынке равна 57, а оптимальный выпуск фирмы $Q$ составляет 19 единиц.

---

Отвечу на ваши вопросы или уточню!

1. Как рассчитываются средние издержки и зачем они нужны?
2. Почему в долгосрочной перспективе экономическая прибыль равна нулю?
3. Как изменятся результаты, если функция затрат другая?
4. Можно ли решить эту задачу графически?
5. Почему $P = MC$ выполняется для конкурентных фирм?

Совет: В задачах на долгосрочную конкурентную равновесие всегда учитывайте минимизацию средних издержек.