Câte numere naturale impare sunt de forma abcd cu a find nenul și a > b > c > d

Problema cere să determinăm câte numere naturale impare de forma \( abcd \) există, unde:
- \( a, b, c, d \) sunt cifre,
- \( a \neq 0 \) (cifra \( a \) nu poate fi 0),
- \( a > b > c > d \),
- \( d \) este impar (pentru ca numărul să fie impar).

Pentru a găsi soluția, parcurgem următorii pași:

### Pasul 1: Condițiile cifrelor
- Cifra \( a \) trebuie să fie un număr între 1 și 9 (pentru că este cifra cea mai mare și nu poate fi zero).
- Cifrele \( b, c, d \) trebuie să fie distincte și în ordine descrescătoare: \( a > b > c > d \).
- Cifra \( d \) trebuie să fie una dintre valorile impare: 1, 3, 5, 7, 9.

### Pasul 2: Alegerea lui \( d \)
Cifra \( d \) poate fi una dintre cele 5 cifre impare (1, 3, 5, 7, 9). După alegerea lui \( d \), trebuie să alegem 3 cifre distincte dintre cifrele rămase, mai mari decât \( d \).

### Pasul 3: Alegerea lui \( a, b, c \)
Pentru cifrele \( a, b, c \), trebuie să alegem 3 cifre distincte din mulțimea de cifre care sunt mai mari decât \( d \). După ce le-am ales, acestea vor fi în mod automat în ordine descrescătoare.

Mulțimea de cifre disponibile pentru \( a, b, c \) va fi \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) minus \( d \). Așadar:
- Dacă \( d = 9 \), nu putem alege alte cifre pentru \( a, b, c \) (nu există cifre mai mari decât 9).
- Dacă \( d = 7 \), putem alege \( a, b, c \) din cifrele \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), ceea ce ne dă \( C^3_7 \) combinații.
- Dacă \( d = 5 \), putem alege \( a, b, c \) din cifrele \( \{0, 1, 2, 3, 4\} \), ceea ce ne dă \( C^3_5 \) combinații.
- Dacă \( d = 3 \), putem alege \( a, b, c \) din cifrele \( \{0, 1, 2\} \), ceea ce ne dă \( C^3_3 \) combinații.
- Dacă \( d = 1 \), putem alege \( a, b, c \) doar din cifrele \( \{0\} \), dar nu avem suficiente cifre, deci nu există soluții.

### Pasul 4: Calculul combinațiilor
- Pentru \( d = 7 \): numărul de combinații este \( C^3_7 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \).
- Pentru \( d = 5 \): numărul de combinații este \( C^3_5 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \).
- Pentru \( d = 3 \): numărul de combinații este \( C^3_3 = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1 \).

### Pasul 5: Totalul combinațiilor
Suma totală a combinațiilor este:
\[
35 \, (pentru \, d = 7) + 10 \, (pentru \, d = 5) + 1 \, (pentru \, d = 3) = 46.
\]

### Răspuns:
Există **46** numere naturale impare de forma \( abcd \) cu \( a > b > c > d \) și \( a \neq 0 \).

Dacă ai nevoie de detalii sau explicații suplimentare, nu ezita să întrebi!

### Întrebări suplimentare:
1. Cum ar afecta soluția dacă numărul nu ar trebui să fie impar?
2. Ce se întâmplă dacă renunțăm la condiția \( a > b > c > d \)?
3. Cum ar fi soluția dacă \( a, b, c, d \) ar putea fi și egale între ele?
4. Ce alte metode de combinatorică ar putea fi folosite în astfel de probleme?
5. Cum s-ar rezolva o problemă similară, dar pentru numere pare?

### Sfat:
În problemele de combinatorică, este util să îți amintești formula combinațiilor \( C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), care îți arată câte moduri sunt de a alege \( k \) obiecte din \( n \), fără să conteze ordinea.

Câte numere naturale impare sunt de forma abcd cu a find nenul și a > b > c > d?

Solve the combinatorics problem to find how many natural odd numbers of the form abcd exist, where a is non-zero and a > b > c > d. This detailed solution includes key combinatorics concepts and step-by-step calculations, using combination formulas for selecting digits. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation