Math Problem Statement

Câte numere naturale impare sunt de forma abcd cu a find nenul și a > b > c > d

Solution

Problema cere să determinăm câte numere naturale impare de forma abcdabcd există, unde:

  • a,b,c,da, b, c, d sunt cifre,
  • a0a \neq 0 (cifra aa nu poate fi 0),
  • a>b>c>da > b > c > d,
  • dd este impar (pentru ca numărul să fie impar).

Pentru a găsi soluția, parcurgem următorii pași:

Pasul 1: Condițiile cifrelor

  • Cifra aa trebuie să fie un număr între 1 și 9 (pentru că este cifra cea mai mare și nu poate fi zero).
  • Cifrele b,c,db, c, d trebuie să fie distincte și în ordine descrescătoare: a>b>c>da > b > c > d.
  • Cifra dd trebuie să fie una dintre valorile impare: 1, 3, 5, 7, 9.

Pasul 2: Alegerea lui dd

Cifra dd poate fi una dintre cele 5 cifre impare (1, 3, 5, 7, 9). După alegerea lui dd, trebuie să alegem 3 cifre distincte dintre cifrele rămase, mai mari decât dd.

Pasul 3: Alegerea lui a,b,ca, b, c

Pentru cifrele a,b,ca, b, c, trebuie să alegem 3 cifre distincte din mulțimea de cifre care sunt mai mari decât dd. După ce le-am ales, acestea vor fi în mod automat în ordine descrescătoare.

Mulțimea de cifre disponibile pentru a,b,ca, b, c va fi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} minus dd. Așadar:

  • Dacă d=9d = 9, nu putem alege alte cifre pentru a,b,ca, b, c (nu există cifre mai mari decât 9).
  • Dacă d=7d = 7, putem alege a,b,ca, b, c din cifrele {0,1,2,3,4,5,6}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, ceea ce ne dă C73C^3_7 combinații.
  • Dacă d=5d = 5, putem alege a,b,ca, b, c din cifrele {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\}, ceea ce ne dă C53C^3_5 combinații.
  • Dacă d=3d = 3, putem alege a,b,ca, b, c din cifrele {0,1,2}\{0, 1, 2\}, ceea ce ne dă C33C^3_3 combinații.
  • Dacă d=1d = 1, putem alege a,b,ca, b, c doar din cifrele {0}\{0\}, dar nu avem suficiente cifre, deci nu există soluții.

Pasul 4: Calculul combinațiilor

  • Pentru d=7d = 7: numărul de combinații este C73=765321=35C^3_7 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35.
  • Pentru d=5d = 5: numărul de combinații este C53=543321=10C^3_5 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10.
  • Pentru d=3d = 3: numărul de combinații este C33=321321=1C^3_3 = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1.

Pasul 5: Totalul combinațiilor

Suma totală a combinațiilor este: 35(pentrud=7)+10(pentrud=5)+1(pentrud=3)=46.35 \, (pentru \, d = 7) + 10 \, (pentru \, d = 5) + 1 \, (pentru \, d = 3) = 46.

Răspuns:

Există 46 numere naturale impare de forma abcdabcd cu a>b>c>da > b > c > d și a0a \neq 0.

Dacă ai nevoie de detalii sau explicații suplimentare, nu ezita să întrebi!

Întrebări suplimentare:

  1. Cum ar afecta soluția dacă numărul nu ar trebui să fie impar?
  2. Ce se întâmplă dacă renunțăm la condiția a>b>c>da > b > c > d?
  3. Cum ar fi soluția dacă a,b,c,da, b, c, d ar putea fi și egale între ele?
  4. Ce alte metode de combinatorică ar putea fi folosite în astfel de probleme?
  5. Cum s-ar rezolva o problemă similară, dar pentru numere pare?

Sfat:

În problemele de combinatorică, este util să îți amintești formula combinațiilor Cnk=n!k!(nk)!C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}, care îți arată câte moduri sunt de a alege kk obiecte din nn, fără să conteze ordinea.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Number Theory
Inequalities

Formulas

Combination formula: C^k_n = n! / (k!(n - k)!)

Theorems

Combination theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12