Φανταστείτε πως θέλετε να διαλέξετε ομοιόμορφα ένα στοιχείο του {0, 1}100 με ακριβώς 30 μηδενικά. Πόσα
τυχαία bits περίπου χρείαζεστε (μπορείτε να θεωρήσετε ότι n! ≈ (n/e)n); Πως θα συμπιέζατε με Arithmetic Coding το
output μίας πηγής που θα γεννούσε strings από αυτήν την κατανομή; Δηλαδή ποιο θα ήταν το conditional probability model
που θα χρησιμοποιούσατε για το i-οστό bit που θα έξεμπε η πηγή, όπου i ∈ {1, 2, . . . , 100};
Βοήθεια: Το πρώτο bit είναι 0 με πιθανότητα 30%.

Για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, ας υπολογίσουμε πρώτα πόσα bits χρειαζόμαστε για να επιλέξουμε ομοιόμορφα ένα στοιχείο του συνόλου \(\{0,1\}^{100}\) με ακριβώς 30 μηδενικά.

### 1. Υπολογισμός των τυχαίων bits

Το πλήθος των διαφορετικών στοιχείων του \(\{0,1\}^{100}\) που περιέχουν ακριβώς 30 μηδενικά ισούται με τους συνδυασμούς \(C(100, 30)\), δηλαδή το πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιλέξουμε 30 θέσεις στις 100 για τα μηδενικά. Ο αριθμός αυτός δίνεται από:

\[
C(100, 30) = \frac{100!}{30!(100-30)!} = \frac{100!}{30!70!}
\]

Για να προσεγγίσουμε το \(C(100, 30)\), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Stirling’s approximation για το \(n!\):

\[
n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n
\]

Επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε περίπου τον αριθμό των συνδυασμών:

\[
C(100, 30) \approx \frac{\left(\frac{100}{e}\right)^{100}}{\left(\frac{30}{e}\right)^{30} \left(\frac{70}{e}\right)^{70}}
\]

Αυτός ο αριθμός \(C(100, 30)\) είναι περίπου το πλήθος των strings με 30 μηδενικά και 70 άσσους. Για να βρούμε πόσα τυχαία bits χρειαζόμαστε, πρέπει να υπολογίσουμε το λογάριθμο βάσης 2 αυτού του αριθμού, δηλαδή:

\[
\text{Bits needed} \approx \log_2 \left(C(100, 30)\right)
\]

Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση Stirling, έχουμε:

\[
\log_2 \left(C(100, 30)\right) \approx \log_2 \left(\frac{100^{100}}{30^{30} \cdot 70^{70}}\right) \approx 100 \log_2 100 - 30 \log_2 30 - 70 \log_2 70
\]

Αυτός ο αριθμός μας δίνει το περίπου πλήθος τυχαίων bits που χρειαζόμαστε.

### 2. Συμπίεση με Arithmetic Coding

Για να χρησιμοποιήσουμε **Arithmetic Coding**, πρέπει να καθορίσουμε το **conditional probability model** για το κάθε bit, δεδομένου του string που έχει ήδη παραχθεί. Ας υποθέσουμε ότι το string αποτελείται από \(n_0\) μηδενικά και \(n_1\) άσσους μέχρι το i-οστό bit. Αρχικά, ξέρουμε ότι το πρώτο bit είναι 0 με πιθανότητα 30%, όπως αναφέρεται στη βοήθεια.

Για κάθε επόμενο bit, το conditional probability εξαρτάται από τον αριθμό των υπολοίπων μηδενικών και άσσων που απομένουν. Συγκεκριμένα, εάν μέχρι το \(i\)-οστό bit έχουμε \(k\) μηδενικά και \(l = i - k\) άσσους, τότε η πιθανότητα το επόμενο bit να είναι 0 είναι:

\[
P(\text{next bit = 0}) = \frac{30 - k}{100 - i}
\]

και αντίστοιχα η πιθανότητα το επόμενο bit να είναι 1 είναι:

\[
P(\text{next bit = 1}) = \frac{70 - l}{100 - i}
\]

Αυτό το conditional probability model χρησιμοποιείται για κάθε bit κατά τη διάρκεια του Arithmetic Coding, ώστε να προσαρμόζεται η κατανομή με βάση το ήδη παραχθέν κομμάτι του string.

### Τελικό Μοντέλο
- Αρχικά, η πιθανότητα για το πρώτο bit είναι 0 με πιθανότητα 30% και 1 με 70%.
- Για το επόμενο bit, δεδομένων των bits που έχουν ήδη παραχθεί, προσαρμόζουμε την πιθανότητα να είναι 0 ή 1 με βάση τον αριθμό των μηδενικών και άσσων που απομένουν.

Θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες ή έχετε κάποια άλλη απορία;

---

**Σχετικές ερωτήσεις:**
1. Πώς μπορεί να εφαρμοστεί η προσέγγιση Stirling για άλλους συνδυασμούς;
2. Τι άλλες μέθοδοι συμπίεσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του Arithmetic Coding;
3. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ Arithmetic Coding και Huffman Coding;
4. Πώς θα μπορούσαμε να βελτιστοποιήσουμε την αριθμητική προσέγγιση του Stirling για μικρά \(n\);
5. Ποιος είναι ο ρόλος του conditional probability model στη συμπίεση δεδομένων;

**Συμβουλή:** Στο Arithmetic Coding, η ακρίβεια του conditional probability model είναι ζωτικής σημασίας για τη μέγιστη συμπίεση.

Φανταστείτε πως θέλετε να διαλέξετε ομοιόμορφα ένα στοιχείο του {0, 1}100 με ακριβώς 30 μηδενικά. Πόσα τυχαία bits περίπου χρείαζεστε (μπορείτε να θεωρήσετε ότι n! ≈ (n/e)n); Πως θα συμπιέζατε με Arithmetic Coding το output μίας πηγής που θα γεννούσε strings από αυτήν την κατανομή; Δηλαδή ποιο θα ήταν το conditional probability model που θα χρησιμοποιούσατε για το i-οστό bit που θα έξεμπε η πηγή, όπου i ∈ {1, 2, . . . , 100}; Βοήθεια: Το πρώτο bit είναι 0 με πιθανότητα 30%.

Discover how to compute the number of bits needed to choose a string with exactly 30 zeros from {0,1}^100, using Stirling's approximation. Learn about the conditional probability model for Arithmetic Coding applied to this distribution. Suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation