Math Problem Statement

В семизначном телефонном номере есть цифры 3, 5 и 8. Остальные цифры единицы. Сколько существует таких номеров?

Solution

Для решения задачи давайте разберем, как можно составить семизначный номер телефона с заданными условиями.

Условия:

  1. В номере должны быть цифры 3, 5 и 8.
  2. Остальные цифры в номере — единицы (1).

Шаг 1: Размещение цифр 3, 5 и 8

Нам нужно выбрать 3 позиции для цифр 3, 5 и 8. Всего в номере 7 позиций, и нам нужно выбрать 3 из них. Количество способов выбрать 3 позиции из 7 вычисляется по формуле сочетаний:

C73=7!3!(73)!=7×6×53×2×1=35C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

Шаг 2: Распределение цифр 3, 5 и 8 на выбранных позициях

На каждую из выбранных позиций мы можем поставить одну из цифр 3, 5 или 8. Поскольку порядок цифр важен (каждую из этих цифр можно поставить на любую из выбранных позиций), то для каждой из 3 позиций существует 3 возможных выбора цифры. Таким образом, количество способов распределить цифры 3, 5 и 8 на выбранных позициях:

3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6

Шаг 3: Заполнение остальных позиций единицами

После того как мы разместили цифры 3, 5 и 8, все оставшиеся 4 позиции будут заняты единицами. Для этих позиций не нужно ничего выбирать.

Шаг 4: Итоговый расчет

Теперь мы можем посчитать общее количество таких номеров. Для этого нужно умножить количество способов выбора позиций для цифр 3, 5 и 8 на количество способов распределить эти цифры на выбранных позициях:

35×6=21035 \times 6 = 210

Ответ:

Итак, существует 210 таких телефонных номеров.


Если вам нужно больше деталей по решению или есть дополнительные вопросы, дайте знать!

Дополнительные вопросы для понимания:

  1. Какова разница между сочетаниями и размещениями в задачах на выбор позиций?
  2. Почему порядок цифр важен в данной задаче?
  3. Как бы изменился ответ, если бы в номере было не 7, а, например, 6 цифр?
  4. Как бы изменилось количество вариантов, если бы еще одна цифра, например, 9, тоже должна была быть в номере?
  5. Как можно решить задачу, если цифры 3, 5 и 8 встречаются не обязательно только один раз, а могут повторяться?

Совет: В задачах на размещение важно четко понимать, когда порядок имеет значение, а когда нет.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Permutations
Combinations

Formulas

C_7^3 = 7! / (3!(7-3)!)
3! = 3 × 2 × 1

Theorems

Combinations formula
Permutations formula

Suitable Grade Level

Grades 7-9