Untuk lingkaran x ^ 2 + y ^ 2 =20* dan titik P(- 1,2) 

(a) Apakah P didalam, diluar, atau pada lingkaran?

(b) Dapatkan jarak terbesar dan terkecil antara P dan titik-titik pada lingkarnan

Lingkaran yang diberikan memiliki persamaan \( x^2 + y^2 = 20 \). Kita akan menyelesaikan pertanyaan dalam dua bagian.

### (a) Apakah titik \( P(-1, 2) \) berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran?

Persamaan lingkaran tersebut dapat ditulis dalam bentuk standar:
\[
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 20
\]
Ini berarti lingkaran berpusat di \( (0, 0) \) dan memiliki jari-jari \( r = \sqrt{20} \).

Untuk menentukan apakah titik \( P(-1, 2) \) berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran, kita hitung jarak dari titik \( P \) ke pusat lingkaran. Jarak antara dua titik, \( (x_1, y_1) \) dan \( (x_2, y_2) \), adalah:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Jarak antara pusat lingkaran \( (0, 0) \) dan titik \( P(-1, 2) \) adalah:
\[
d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]
Jadi, jarak dari titik \( P(-1, 2) \) ke pusat lingkaran adalah \( \sqrt{5} \).

Bandingkan jarak \( \sqrt{5} \) ini dengan jari-jari lingkaran, yaitu \( \sqrt{20} \).

- Jika \( d < r \), titik \( P \) berada di dalam lingkaran.
- Jika \( d = r \), titik \( P \) berada pada lingkaran.
- Jika \( d > r \), titik \( P \) berada di luar lingkaran.

Karena \( \sqrt{5} \approx 2.24 \) dan \( \sqrt{20} \approx 4.47 \), maka \( \sqrt{5} < \sqrt{20} \). Artinya, titik \( P(-1, 2) \) berada di **dalam** lingkaran.

### (b) Jarak terbesar dan terkecil antara titik \( P(-1, 2) \) dan titik-titik pada lingkaran

Jarak terbesar antara titik \( P(-1, 2) \) dan titik-titik pada lingkaran adalah jumlah dari jarak titik \( P \) ke pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran:
\[
\text{Jarak terbesar} = \text{jarak pusat ke } P + r = \sqrt{5} + \sqrt{20}
\]
\[
\text{Jarak terbesar} = \sqrt{5} + \sqrt{20} \approx 2.24 + 4.47 = 6.71
\]

Jarak terkecil antara titik \( P(-1, 2) \) dan titik-titik pada lingkaran adalah selisih antara jarak titik \( P \) ke pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran:
\[
\text{Jarak terkecil} = | \text{jarak pusat ke } P - r | = | \sqrt{5} - \sqrt{20} |
\]
\[
\text{Jarak terkecil} = | \sqrt{5} - \sqrt{20} | \approx | 2.24 - 4.47 | = 2.23
\]

Jadi, jarak terbesar adalah sekitar \( 6.71 \) satuan, dan jarak terkecil adalah sekitar \( 2.23 \) satuan.

---

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

**Pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana menghitung jarak antara dua titik secara umum?
2. Apa sifat-sifat lingkaran yang mempengaruhi jarak terjauh dan terdekat?
3. Bagaimana cara menentukan posisi titik relatif terhadap suatu kurva atau bentuk geometris lainnya?
4. Bagaimana jika titik P terletak di luar lingkaran? Bagaimana hasilnya?
5. Apa hubungan antara persamaan lingkaran dan persamaan parabola?

**Tip**: Mengingat bentuk standar persamaan lingkaran sangat membantu untuk mengenali pusat dan jari-jari dengan mudah.

Untuk lingkaran x^2 + y^2 = 20 dan titik P(-1, 2): (a) Apakah P berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran? (b) Dapatkan jarak terbesar dan terkecil antara P dan titik-titik pada lingkaran.

Solve the problem of determining whether point P(-1, 2) is inside, outside, or on the circle x^2 + y^2 = 20. Learn how to calculate the largest and smallest distances between point P and the circle's edge using geometric principles. Suitable for Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation