任意の自然数kに対して、(k+1)(2k+3)/2 - k(2k+1)/2 - √(2(k+1)(2k+1) > 0が成り立つことを証明せよ

与えられた不等式を次のように表すことができます：

\[
\frac{(k+1)(2k+3)}{2} - \frac{k(2k+1)}{2} - \sqrt{2(k+1)(2k+1)} > 0
\]

まずは、分数部分を展開して整理します。

### 第1項の展開：
\[
(k+1)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 2k + 3 = 2k^2 + 5k + 3
\]
したがって、
\[
\frac{(k+1)(2k+3)}{2} = \frac{2k^2 + 5k + 3}{2}
\]

### 第2項の展開：
\[
k(2k+1) = 2k^2 + k
\]
したがって、
\[
\frac{k(2k+1)}{2} = \frac{2k^2 + k}{2} = k^2 + \frac{k}{2}
\]

### 第1項と第2項の差を求める：
\[
\frac{2k^2 + 5k + 3}{2} - \frac{2k^2 + k}{2} = \frac{(2k^2 + 5k + 3) - (2k^2 + k)}{2} = \frac{4k + 3}{2} = 2k + \frac{3}{2}
\]

これにより、不等式は次のように簡略化されます：

\[
2k + \frac{3}{2} - \sqrt{2(k+1)(2k+1)} > 0
\]

次に、平方根部分を扱います。簡単化のために、両辺に \(\sqrt{2(k+1)(2k+1)}\) を移動し、不等式を次のように再構成します：

\[
2k + \frac{3}{2} > \sqrt{2(k+1)(2k+1)}
\]

両辺を二乗して、平方根を取り除きます：

\[
\left(2k + \frac{3}{2}\right)^2 > 2(k+1)(2k+1)
\]

左辺を展開すると：

\[
\left(2k + \frac{3}{2}\right)^2 = 4k^2 + 6k + \frac{9}{4}
\]

右辺は：

\[
2(k+1)(2k+1) = 2(2k^2 + 3k + 1) = 4k^2 + 6k + 2
\]

これにより、不等式は次のように変形されます：

\[
4k^2 + 6k + \frac{9}{4} > 4k^2 + 6k + 2
\]

両辺から \(4k^2 + 6k\) を引くと：

\[
\frac{9}{4} > 2
\]

これは真であるため、元の不等式が任意の自然数 \(k\) に対して成り立つことが示されました。

何か質問がありますか？それとも、詳しく知りたいですか？

### 関連する5つの質問
1. この不等式を証明するための別の方法はありますか？
2. 自然数 \( k \) の特定の値について、この不等式を検証する方法は？
3. この不等式が成り立たない特定の条件は存在しますか？
4. この種の不等式の証明で一般的なテクニックは何ですか？
5. 他の変数が含まれる場合、この証明のアプローチはどう変わりますか？

### Tip
不等式の証明では、左辺と右辺を比較するために平方や分母の統一などを用いると簡略化が容易になります。

Learn how to prove the inequality involving natural numbers k: (k+1)(2k+3)/2 - k(2k+1)/2 - √(2(k+1)(2k+1) > 0. This problem explores advanced concepts in inequalities and square roots, suitable for advanced high school students and above.

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