Math Problem Statement

Sean los conjuntos: A = {2, 3, 4, 6} y B = {2, 4, 6, 9}, calcular: A X B y determinar R:A→ В э "b es múltiplo de a" (por extensión, Gráfico de Venn y en el plano cartesiano)

Solution

Paso 1: Producto cartesiano A×BA \times B

El producto cartesiano A×BA \times B consiste en formar pares ordenados (a,b)(a, b), donde aa pertenece al conjunto AA y bb pertenece al conjunto BB.

Los conjuntos dados son:

  • A={2,3,4,6}A = \{2, 3, 4, 6\}
  • B={2,4,6,9}B = \{2, 4, 6, 9\}

El producto cartesiano se expresa como:

A×B={(a,b)aA,bB}A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}

Aplicando esto:

A×B={(2,2),(2,4),(2,6),(2,9),(3,2),(3,4),(3,6),(3,9),(4,2),(4,4),(4,6),(4,9),(6,2),(6,4),(6,6),(6,9)}A \times B = \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 9), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 9), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 9)\}

Paso 2: Determinar la relación R:ABR: A \to B

La relación R:ABR: A \to B está definida por la condición "b es múltiplo de a", es decir, b=kab = k \cdot a donde kk es un número entero. Ahora verificamos los pares (a,b)(a, b) que cumplen esta condición.

  • Para a=2a = 2: b=2,4,6b = 2, 4, 6 cumplen la condición.
  • Para a=3a = 3: b=6b = 6 es múltiplo de 3.
  • Para a=4a = 4: b=4b = 4 es múltiplo de 4.
  • Para a=6a = 6: b=6b = 6 es múltiplo de 6.

Por lo tanto, la relación RR estará formada por los siguientes pares:

R={(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(6,6)}R = \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 4), (6, 6)\}

Paso 3: Gráfico de Venn

En el diagrama de Venn, podemos representar los conjuntos AA y BB, mostrando las intersecciones y los elementos únicos de cada conjunto.

  • A={2,3,4,6}A = \{2, 3, 4, 6\}
  • B={2,4,6,9}B = \{2, 4, 6, 9\}

El diagrama de Venn tendrá:

  • La intersección será: {2,4,6}\{2, 4, 6\}.
  • Los elementos únicos en AA: {3}\{3\}.
  • Los elementos únicos en BB: {9}\{9\}.

Paso 4: Gráfico en el plano cartesiano

Podemos representar los pares de la relación RR en el plano cartesiano. Los puntos a graficar son:

  • (2,2)(2, 2)
  • (2,4)(2, 4)
  • (2,6)(2, 6)
  • (3,6)(3, 6)
  • (4,4)(4, 4)
  • (6,6)(6, 6)

Estos puntos reflejan los pares donde bb es múltiplo de aa.


Preguntas relacionadas:

  1. ¿Cómo se calcula el producto cartesiano de dos conjuntos más grandes?
  2. ¿Qué otras relaciones podrían definirse entre AA y BB?
  3. ¿Qué sucede si AA y BB tienen elementos comunes pero no hay múltiplos?
  4. ¿Cómo se representa gráficamente una relación que no es función?
  5. ¿Cómo se puede interpretar la relación RR en un contexto real?

Tip:

Cuando traces una relación en el plano cartesiano, verifica siempre si se cumple la condición dada para evitar puntos erróneos.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Set Theory
Cartesian Product
Relations
Venn Diagrams
Graphing in the Cartesian Plane

Formulas

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
b = k * a, where k is an integer (for relation R: A → B)

Theorems

Cartesian Product of Sets
Multiples and Divisibility
Venn Diagram Principles

Suitable Grade Level

Grades 10-12