Paso 1: Producto cartesiano $A \times B$

El producto cartesiano $A \times B$ consiste en formar pares ordenados $(a, b)$, donde $a$ pertenece al conjunto $A$ y $b$ pertenece al conjunto $B$.

Los conjuntos dados son:

• $A = \{2, 3, 4, 6\}$
• $B = \{2, 4, 6, 9\}$

El producto cartesiano se expresa como:

$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$

Aplicando esto:

$A \times B = \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 9), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 9), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 9)\}$

Paso 2: Determinar la relación $R: A \to B$

La relación $R: A \to B$ está definida por la condición "b es múltiplo de a", es decir, $b = k \cdot a$ donde $k$ es un número entero. Ahora verificamos los pares $(a, b)$ que cumplen esta condición.

• Para $a = 2$: $b = 2, 4, 6$ cumplen la condición.
• Para $a = 3$: $b = 6$ es múltiplo de 3.
• Para $a = 4$: $b = 4$ es múltiplo de 4.
• Para $a = 6$: $b = 6$ es múltiplo de 6.

Por lo tanto, la relación $R$ estará formada por los siguientes pares:

$R = \{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 4), (6, 6)\}$

Paso 3: Gráfico de Venn

En el diagrama de Venn, podemos representar los conjuntos $A$ y $B$, mostrando las intersecciones y los elementos únicos de cada conjunto.

• $A = \{2, 3, 4, 6\}$
• $B = \{2, 4, 6, 9\}$

El diagrama de Venn tendrá:

• La intersección será: $\{2, 4, 6\}$.
• Los elementos únicos en $A$: $\{3\}$.
• Los elementos únicos en $B$: $\{9\}$.

Paso 4: Gráfico en el plano cartesiano

Podemos representar los pares de la relación $R$ en el plano cartesiano. Los puntos a graficar son:

• $(2, 2)$
• $(2, 4)$
• $(2, 6)$
• $(3, 6)$
• $(4, 4)$
• $(6, 6)$

Estos puntos reflejan los pares donde $b$ es múltiplo de $a$.

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el producto cartesiano de dos conjuntos más grandes?
2. ¿Qué otras relaciones podrían definirse entre $A$ y $B$?
3. ¿Qué sucede si $A$ y $B$ tienen elementos comunes pero no hay múltiplos?
4. ¿Cómo se representa gráficamente una relación que no es función?
5. ¿Cómo se puede interpretar la relación $R$ en un contexto real?

Tip:

Cuando traces una relación en el plano cartesiano, verifica siempre si se cumple la condición dada para evitar puntos erróneos.