https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172747684073609khqn3v.jpg

Ayúdame a resolver esto paso por paso, ya voy en el inciso d), así que puedes comenzar a detalle desde ahí. Explícame el porqué de las cosas también.

Claro, comencemos desde el inciso **d)**, que trata sobre la determinación de los puntos máximos y mínimos en la función de posición. Para hacerlo, debemos primero entender cómo llegar a la función de posición y luego cómo identificar los puntos críticos (máximos y mínimos).

### Recordemos el planteamiento:
- Nos dieron que la **aceleración** de la partícula es \( f''(t) = 2t + 7 \).
- A partir de esta función de aceleración, hemos calculado ya la **velocidad** y la **posición** en los incisos anteriores.

Ya que no podemos visualizar directamente los incisos anteriores, lo más probable es que ya hayas obtenido la **función de posición** integrando la aceleración y velocidad en los pasos previos. Procedamos de todos modos desde esta parte del proceso para aclarar los pasos a seguir.

### Paso 1: Encontrar la función de posición \( f(t) \)
Dado que \( f''(t) = 2t + 7 \), integramos para encontrar la velocidad \( f'(t) \):

\[
f'(t) = \int (2t + 7) dt = t^2 + 7t + C_1
\]

Donde \( C_1 \) es una constante de integración. En el inciso **a)**, te habrás encontrado con que la velocidad en \( t = 1 \) es 20, por lo que puedes usar este dato para encontrar \( C_1 \):

\[
f'(1) = 1^2 + 7(1) + C_1 = 20
\]
\[
1 + 7 + C_1 = 20 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 12
\]

Por lo tanto, la función de velocidad es:

\[
f'(t) = t^2 + 7t + 12
\]

Ahora integramos esta función para encontrar la **posición** \( f(t) \):

\[
f(t) = \int (t^2 + 7t + 12) dt = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + C_2
\]

Usando el dato del inciso **b)** (que \( f(3) = 300 \)), puedes encontrar \( C_2 \):

\[
f(3) = \frac{3^3}{3} + \frac{7(3^2)}{2} + 12(3) + C_2 = 300
\]
\[
f(3) = 9 + 31.5 + 36 + C_2 = 300
\]
\[
76.5 + C_2 = 300 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 223.5
\]

Por lo tanto, la función de posición es:

\[
f(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + 223.5
\]

### Paso 2: Derivar para encontrar puntos críticos

Para encontrar los puntos máximos y mínimos, derivamos la función de posición \( f(t) \) y buscamos los valores de \( t \) donde \( f'(t) = 0 \):

\[
f'(t) = t^2 + 7t + 12
\]

Resolvemos la ecuación cuadrática \( t^2 + 7t + 12 = 0 \) usando la fórmula general:

\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}
\]
\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}
\]
\[
t = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2}
\]
\[
t = \frac{-7 \pm 1}{2}
\]
\[
t_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-7 - 1}{2} = -4
\]

Los puntos críticos se encuentran en \( t = -3 \) y \( t = -4 \). Ahora, debes verificar si estos puntos corresponden a máximos o mínimos mediante la segunda derivada o probando intervalos cercanos.

### Paso 3: Verificar la concavidad (segunda derivada)

La segunda derivada es la función de aceleración \( f''(t) = 2t + 7 \). Evaluemos en los puntos críticos:

- Para \( t = -3 \): \( f''(-3) = 2(-3) + 7 = -6 + 7 = 1 \) (positivo, indica mínimo).
- Para \( t = -4 \): \( f''(-4) = 2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1 \) (negativo, indica máximo).

### Resultado para el inciso **d)**:
- La función tiene un **máximo** en \( t = -4 \).
- La función tiene un **mínimo** en \( t = -3 \).

### ¿Dudas o preguntas hasta aquí? Aquí tienes cinco preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o un mínimo usando la segunda derivada?
2. ¿Qué relación existe entre la derivada de una función y el comportamiento de su gráfica (creciente o decreciente)?
3. ¿Cómo influye la constante de integración en una función de velocidad o posición?
4. ¿Cómo se utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?
5. ¿Por qué es importante estudiar los puntos críticos en una función de movimiento en física?

**Tip**: Recuerda que los puntos críticos no siempre son máximos o mínimos; a veces pueden ser puntos de inflexión.

Learn how to solve a physics problem involving the acceleration, velocity, and position of a particle in motion. Detailed steps include finding critical points, integrating acceleration to velocity and position, and applying calculus to solve for maximum and minimum points. Suitable for high school and college students in calculus and physics courses.

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