Claro, comencemos desde el inciso d), que trata sobre la determinación de los puntos máximos y mínimos en la función de posición. Para hacerlo, debemos primero entender cómo llegar a la función de posición y luego cómo identificar los puntos críticos (máximos y mínimos).

Recordemos el planteamiento:

• Nos dieron que la aceleración de la partícula es $f''(t) = 2t + 7$.
• A partir de esta función de aceleración, hemos calculado ya la velocidad y la posición en los incisos anteriores.

Ya que no podemos visualizar directamente los incisos anteriores, lo más probable es que ya hayas obtenido la función de posición integrando la aceleración y velocidad en los pasos previos. Procedamos de todos modos desde esta parte del proceso para aclarar los pasos a seguir.

Paso 1: Encontrar la función de posición $f(t)$

Dado que $f''(t) = 2t + 7$, integramos para encontrar la velocidad $f'(t)$:

$f'(t) = \int (2t + 7) dt = t^2 + 7t + C_1$

Donde $C_1$ es una constante de integración. En el inciso a), te habrás encontrado con que la velocidad en $t = 1$ es 20, por lo que puedes usar este dato para encontrar $C_1$:

$f'(1) = 1^2 + 7(1) + C_1 = 20$ $1 + 7 + C_1 = 20 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 12$

Por lo tanto, la función de velocidad es:

$f'(t) = t^2 + 7t + 12$

Ahora integramos esta función para encontrar la posición $f(t)$:

$f(t) = \int (t^2 + 7t + 12) dt = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + C_2$

Usando el dato del inciso b) (que $f(3) = 300$), puedes encontrar $C_2$:

$f(3) = \frac{3^3}{3} + \frac{7(3^2)}{2} + 12(3) + C_2 = 300$ $f(3) = 9 + 31.5 + 36 + C_2 = 300$ $76.5 + C_2 = 300 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 223.5$

Por lo tanto, la función de posición es:

$f(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + 223.5$

Paso 2: Derivar para encontrar puntos críticos

Para encontrar los puntos máximos y mínimos, derivamos la función de posición $f(t)$ y buscamos los valores de $t$ donde $f'(t) = 0$:

$f'(t) = t^2 + 7t + 12$

Resolvemos la ecuación cuadrática $t^2 + 7t + 12 = 0$ usando la fórmula general:

$t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}$ $t = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$ $t = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2}$ $t = \frac{-7 \pm 1}{2}$ $t_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-7 - 1}{2} = -4$

Los puntos críticos se encuentran en $t = -3$ y $t = -4$. Ahora, debes verificar si estos puntos corresponden a máximos o mínimos mediante la segunda derivada o probando intervalos cercanos.

Paso 3: Verificar la concavidad (segunda derivada)

La segunda derivada es la función de aceleración $f''(t) = 2t + 7$. Evaluemos en los puntos críticos:

• Para $t = -3$: $f''(-3) = 2(-3) + 7 = -6 + 7 = 1$ (positivo, indica mínimo).
• Para $t = -4$: $f''(-4) = 2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1$ (negativo, indica máximo).

Resultado para el inciso d):

• La función tiene un máximo en $t = -4$.
• La función tiene un mínimo en $t = -3$.

¿Dudas o preguntas hasta aquí? Aquí tienes cinco preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o un mínimo usando la segunda derivada?
2. ¿Qué relación existe entre la derivada de una función y el comportamiento de su gráfica (creciente o decreciente)?
3. ¿Cómo influye la constante de integración en una función de velocidad o posición?
4. ¿Cómo se utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?
5. ¿Por qué es importante estudiar los puntos críticos en una función de movimiento en física?

Tip: Recuerda que los puntos críticos no siempre son máximos o mínimos; a veces pueden ser puntos de inflexión.