4. Tentukan turunan (d/dx (y) = y') dari fungsi-fungsi berikut.



b) y = (3x ^ 3 - 11x) ^ 7

c) x * y ^ 2 - x + 16 = 0

Mari kita selesaikan turunan dari kedua fungsi yang diminta.

### b) \( y = (3x^3 - 11x)^7 \)

Untuk mencari turunan fungsi ini, kita bisa menggunakan **aturan rantai (chain rule)**. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Misalkan \( u = 3x^3 - 11x \), maka fungsi dapat ditulis sebagai \( y = u^7 \).
2. Turunan \( y \) terhadap \( u \):  
   \[
   \frac{dy}{du} = 7u^6
   \]
3. Turunan \( u \) terhadap \( x \):  
   \[
   \frac{du}{dx} = 9x^2 - 11
   \]
4. Gunakan aturan rantai untuk mencari \( \frac{dy}{dx} \):  
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
   \]
   Substitusikan nilai-nilai yang sudah dihitung:
   \[
   \frac{dy}{dx} = 7(3x^3 - 11x)^6 \cdot (9x^2 - 11)
   \]

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah:
\[
y' = 7(3x^3 - 11x)^6 \cdot (9x^2 - 11)
\]

---

### c) \( x \cdot y^2 - x + 16 = 0 \)

Untuk mencari turunan dari fungsi ini, kita harus menggunakan **turunan implisit** karena \( y \) adalah fungsi dari \( x \).

1. Pertama, kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap \( x \), ingat bahwa \( y \) juga merupakan fungsi dari \( x \), sehingga kita harus menerapkan aturan rantai untuk setiap turunan yang melibatkan \( y \).

   Turunan dari \( x \cdot y^2 \) menggunakan aturan produk adalah:
   \[
   \frac{d}{dx}(x \cdot y^2) = y^2 + 2xy \cdot y'
   \]

   Turunan dari \( -x \) adalah:
   \[
   \frac{d}{dx}(-x) = -1
   \]

   Turunan dari 16 adalah:
   \[
   \frac{d}{dx}(16) = 0
   \]

2. Substitusikan semua hasil turunan ke dalam persamaan:
   \[
   y^2 + 2xy \cdot y' - 1 = 0
   \]

3. Sekarang, kita isolasi \( y' \) (turunan \( y \) terhadap \( x \)):
   \[
   2xy \cdot y' = 1 - y^2
   \]
   \[
   y' = \frac{1 - y^2}{2xy}
   \]

Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah:
\[
y' = \frac{1 - y^2}{2xy}
\]

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang mungkin berguna:

1. Bagaimana cara mengaplikasikan aturan rantai untuk fungsi yang lebih kompleks?
2. Apa itu aturan produk, dan kapan digunakan?
3. Bagaimana cara mengenali kapan kita harus menggunakan turunan implisit?
4. Bagaimana kita bisa memeriksa kesalahan dalam perhitungan turunan implisit?
5. Bagaimana jika fungsi dalam persamaan implisit lebih kompleks (misalnya, polinomial yang lebih tinggi)?

**Tip:** Selalu berhati-hati dalam menerapkan aturan rantai dan aturan produk saat terdapat lebih dari satu variabel yang saling bergantung.

4. Tentukan turunan (d/dx (y) = y') dari fungsi-fungsi berikut.

b) y = (3x ^ 3 - 11x) ^ 7

c) x * y ^ 2 - x + 16 = 0

Explore how to find the derivatives of functions using the chain rule and implicit differentiation. This problem involves calculating derivatives of expressions like y = (3x^3 - 11x)^7 and implicitly differentiating x * y^2 - x + 16 = 0. Perfect for high school calculus students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation