Para resolver el punto b), donde se te pide calcular cuántas personas estarán enfermas al cabo de 5 días, necesitas primero determinar los valores de $k$ y $N$ para luego resolver la ecuación diferencial.

1. Determinación de $k$ y $N$

• $N$ es la población total, que en este caso es 1000 personas, por lo que $N = 1000$.
• $k$ es la constante de proporcionalidad que aún necesitamos determinar.

2. Utilizando el dato adicional para hallar $k$

Dado que se menciona que en 5 días se enfermarán 50 personas, podemos usar este dato para determinar el valor de $k$.

La solución general de la ecuación diferencial obtenida anteriormente es:

$E(t) = \frac{N}{1 + \frac{N - 1}{1} e^{-kNt}}$

Dado que $N = 1000$:

$E(t) = \frac{1000}{1 + 999 e^{-1000kt}}$

Usando la condición $E(5) = 50$ para encontrar $k$:

Tenemos que a los 5 días, $E(5) = 50$:

$50 = \frac{1000}{1 + 999 e^{-5000k}}$

Esto se convierte en:

$1 + 999 e^{-5000k} = \frac{1000}{50} = 20$

Restando 1 de ambos lados:

$999 e^{-5000k} = 19$

Dividiendo entre 999:

$e^{-5000k} = \frac{19}{999}$

Tomando el logaritmo natural:

$-5000k = \ln \left( \frac{19}{999} \right)$

Despejando $k$:

$k = -\frac{1}{5000} \ln \left( \frac{19}{999} \right)$

3. Cálculo de $k$:

Ahora calcularemos el valor numérico de $k$:

$k \approx -\frac{1}{5000} \ln \left( \frac{19}{999} \right) \approx -\frac{1}{5000} \cdot (-4.673) \approx 0.0009346$

4. Resolviendo para $E(5)$:

Para encontrar cuántas personas estarán enfermas al cabo de 5 días con este valor de $k$:

$E(5) = \frac{1000}{1 + 999 e^{-5000 \times 0.0009346}}$

Podemos simplificar $e^{-5000 \times 0.0009346} \approx e^{-4.673} \approx 0.00933$:

$E(5) = \frac{1000}{1 + 999 \times 0.00933} = \frac{1000}{1 + 9.327} = \frac{1000}{10.327} \approx 96.84$

Respuesta:

Después de 5 días, aproximadamente 97 personas estarán enfermas en la comunidad.

Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué ocurriría con el modelo si el valor de $k$ fuera mayor o menor?
2. ¿Cómo se comporta la función $E(t)$ cuando $t$ tiende a infinito?
3. ¿Qué impacto tendría una intervención, como vacunación masiva, en el valor de $k$?
4. ¿Cómo podríamos incluir una tasa de recuperación en este modelo?
5. ¿Cómo cambia la ecuación si suponemos que la población no es fija y que hay nacimientos y muertes?

Tip:

Al resolver ecuaciones diferenciales aplicadas a problemas de propagación, es clave interpretar los resultados dentro del contexto del problema, especialmente los valores de las constantes y sus unidades.