ahora, teniendo eso, como hago el punto b? Entiendo que tengo que hallar k y N

Para resolver el punto **b)**, donde se te pide calcular cuántas personas estarán enfermas al cabo de 5 días, necesitas primero determinar los valores de \( k \) y \( N \) para luego resolver la ecuación diferencial.

### 1. Determinación de \( k \) y \( N \)
- \( N \) es la población total, que en este caso es 1000 personas, por lo que \( N = 1000 \).
- \( k \) es la constante de proporcionalidad que aún necesitamos determinar.

### 2. Utilizando el dato adicional para hallar \( k \)
Dado que se menciona que en 5 días se enfermarán 50 personas, podemos usar este dato para determinar el valor de \( k \).

La solución general de la ecuación diferencial obtenida anteriormente es:

\[
E(t) = \frac{N}{1 + \frac{N - 1}{1} e^{-kNt}}
\]

Dado que \( N = 1000 \):

\[
E(t) = \frac{1000}{1 + 999 e^{-1000kt}}
\]

### Usando la condición \( E(5) = 50 \) para encontrar \( k \):

Tenemos que a los 5 días, \( E(5) = 50 \):

\[
50 = \frac{1000}{1 + 999 e^{-5000k}}
\]

Esto se convierte en:

\[
1 + 999 e^{-5000k} = \frac{1000}{50} = 20
\]

Restando 1 de ambos lados:

\[
999 e^{-5000k} = 19
\]

Dividiendo entre 999:

\[
e^{-5000k} = \frac{19}{999}
\]

Tomando el logaritmo natural:

\[
-5000k = \ln \left( \frac{19}{999} \right)
\]

Despejando \( k \):

\[
k = -\frac{1}{5000} \ln \left( \frac{19}{999} \right)
\]

### 3. Cálculo de \( k \):

Ahora calcularemos el valor numérico de \( k \):

\[
k \approx -\frac{1}{5000} \ln \left( \frac{19}{999} \right) \approx -\frac{1}{5000} \cdot (-4.673) \approx 0.0009346
\]

### 4. Resolviendo para \( E(5) \):

Para encontrar cuántas personas estarán enfermas al cabo de 5 días con este valor de \( k \):

\[
E(5) = \frac{1000}{1 + 999 e^{-5000 \times 0.0009346}}
\]

Podemos simplificar \( e^{-5000 \times 0.0009346} \approx e^{-4.673} \approx 0.00933 \):

\[
E(5) = \frac{1000}{1 + 999 \times 0.00933} = \frac{1000}{1 + 9.327} = \frac{1000}{10.327} \approx 96.84
\]

### Respuesta:

Después de 5 días, aproximadamente **97 personas** estarán enfermas en la comunidad.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué ocurriría con el modelo si el valor de \( k \) fuera mayor o menor?
2. ¿Cómo se comporta la función \( E(t) \) cuando \( t \) tiende a infinito?
3. ¿Qué impacto tendría una intervención, como vacunación masiva, en el valor de \( k \)?
4. ¿Cómo podríamos incluir una tasa de recuperación en este modelo?
5. ¿Cómo cambia la ecuación si suponemos que la población no es fija y que hay nacimientos y muertes?

### Tip:
Al resolver ecuaciones diferenciales aplicadas a problemas de propagación, es clave interpretar los resultados dentro del contexto del problema, especialmente los valores de las constantes y sus unidades.

Learn how to calculate population decay over time using differential equations. This problem involves determining the constant of proportionality and population size using given data. Suitable for advanced high school students studying differential calculus and exponential functions.

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