Il y a 5 ans, la population d'une ville etait de "X" habitant. Deux ans plus tard, soit il y a trois ans, la population de cette meme ville etait de 81 000 habitants et aujourd'hui elle est de 59 049. A l'aide de ces donnees, trouve la population d'il y a cinq ans.

Pour résoudre ce problème, nous allons supposer que la population de la ville diminue de manière exponentielle au fil du temps. La formule de décroissance exponentielle est donnée par :

\[
P(t) = P_0 \times e^{kt}
\]

où :
- \(P(t)\) est la population à l'instant \(t\),
- \(P_0\) est la population initiale (à l'instant \(t = 0\)),
- \(k\) est le taux de décroissance,
- \(t\) est le temps écoulé.

On sait que :
- Il y a 3 ans (\(t = -3\)), la population était de 81 000 habitants.
- Aujourd'hui (\(t = 0\)), la population est de 59 049 habitants.

Nous devons d'abord trouver le taux de décroissance \(k\) en utilisant ces deux points, puis utiliser ce taux pour trouver la population il y a 5 ans (\(t = -5\)).

### Étape 1 : Trouver le taux de décroissance \(k\)

La formule à utiliser est :

\[
P(t = 0) = P(t = -3) \times e^{3k}
\]

Substituons les valeurs connues :

\[
59 049 = 81 000 \times e^{3k}
\]

Résolvons pour \(k\) :

\[
e^{3k} = \frac{59 049}{81 000} \approx 0,729
\]

\[
3k = \ln(0,729) \approx -0,316
\]

\[
k \approx \frac{-0,316}{3} \approx -0,105
\]

### Étape 2 : Trouver la population il y a 5 ans

Maintenant que nous avons \(k \approx -0,105\), nous pouvons l'utiliser pour trouver \(P_0\), la population il y a 5 ans (\(t = -5\)).

\[
P(-5) = P_0 \times e^{-5k}
\]

Sachant que \(P_0 = 81 000 \times e^{-3k}\), nous calculons \(P(-5)\) :

\[
P(-5) = 81 000 \times e^{2k}
\]

Substituons \(k \approx -0,105\) :

\[
P(-5) = 81 000 \times e^{-0,21}
\]

\[
P(-5) \approx 81 000 \times 0,810 \approx 65 610
\]

Ainsi, la population d'il y a 5 ans était d'environ **65 610** habitants.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions?

Voici 8 questions relatives :
1. Comment le modèle de décroissance exponentielle est-il utilisé pour d'autres types de données?
2. Quelles seraient les implications si la décroissance de la population était linéaire plutôt qu'exponentielle?
3. Comment le taux de décroissance affecte-t-il la population sur le long terme?
4. Comment modéliseriez-vous la croissance de la population au lieu de la décroissance?
5. Quelles méthodes peuvent être utilisées pour estimer \(k\) à partir de données réelles?
6. Quels autres facteurs peuvent influencer la décroissance de la population dans une ville?
7. Comment interpréter le résultat trouvé pour la population initiale?
8. Comment les prédictions changeraient-elles si des événements imprévus affectaient la population?

**Astuce** : Lors de la résolution de problèmes de décroissance exponentielle, il est essentiel de vérifier si les données suivent réellement un modèle exponentiel, car cela influence directement l'exactitude des prédictions.

Explore how to calculate population decay using exponential models. Solve a problem where the population of a city is modeled with exponential decay, determining the population five years ago based on given data points.

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