Orterna A och B ligger på var sin sida av ett vattendrag och förbinds av en bro. Antalet fordon som under en minut färdas från A till B är poissonfördelat med väntevärde 2 medan antal fordon i andra riktningen är poissonfördelat med väntevärde 5. Beräkna sannolikheten att det under en minut kommer minst 12 fordon på bron. Svara med minst tre decimalers noggrannhet.

Vi har två Poissonprocesser som beskriver antalet fordon som passerar bron i vardera riktningen:

- Från A till B är antalet fordon per minut poissonfördelat med väntevärdet \( \lambda_1 = 2 \).
- Från B till A är antalet fordon per minut poissonfördelat med väntevärdet \( \lambda_2 = 5 \).

Totala antalet fordon på bron under en minut är summan av de två Poissonfördelade variablerna \( X_1 \) och \( X_2 \), där \( X_1 \sim \text{Poisson}(2) \) och \( X_2 \sim \text{Poisson}(5) \).

Eftersom summan av två poissonfördelade variabler också är poissonfördelad med väntevärdet lika med summan av väntevärdena, kan vi skriva:

\[
X = X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2) = \text{Poisson}(7)
\]

Nu ska vi beräkna sannolikheten att det totala antalet fordon \( X \) är minst 12:

\[
P(X \geq 12) = 1 - P(X \leq 11)
\]

Vi måste nu beräkna \( P(X \leq 11) \), vilket är summan av sannolikheterna från \( X = 0 \) till \( X = 11 \) för en Poissonfördelning med \( \lambda = 7 \):

\[
P(X \leq 11) = \sum_{k=0}^{11} \frac{e^{-7} 7^k}{k!}
\]

Jag kommer att beräkna detta uttryck nu.Sannolikheten att det under en minut kommer minst 12 fordon på bron är ungefär \( 0.053 \) (med tre decimalers noggrannhet).

Har du några frågor eller vill du ha fler detaljer?

Här är några relaterade frågor att överväga:
1. Hur fungerar Poissonfördelningen generellt och vilka tillämpningar har den?
2. Hur beräknar man sannolikheten för ett specifikt antal händelser i en Poissonprocess?
3. Hur påverkar väntevärdet sannolikheten för extrema utfall i en Poissonfördelning?
4. Kan man tillämpa andra fördelningar för liknande problem och när är det lämpligt?
5. Hur påverkas lösningen om väntevärdena ändras?

**Tips:** Poissonfördelningen används ofta för att modellera antalet händelser som inträffar under en viss tidsperiod när dessa händelser sker oberoende av varandra.

This problem demonstrates how to calculate the probability of at least 12 vehicles crossing a bridge per minute using Poisson distributions with means of 2 and 5 for two-way traffic. Learn step-by-step how to solve using the Poisson summation theorem and key probability concepts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation