Vi har två Poissonprocesser som beskriver antalet fordon som passerar bron i vardera riktningen:

• Från A till B är antalet fordon per minut poissonfördelat med väntevärdet $\lambda_1 = 2$.
• Från B till A är antalet fordon per minut poissonfördelat med väntevärdet $\lambda_2 = 5$.

Totala antalet fordon på bron under en minut är summan av de två Poissonfördelade variablerna $X_1$ och $X_2$, där $X_1 \sim \text{Poisson}(2)$ och $X_2 \sim \text{Poisson}(5)$.

Eftersom summan av två poissonfördelade variabler också är poissonfördelad med väntevärdet lika med summan av väntevärdena, kan vi skriva:

$X = X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2) = \text{Poisson}(7)$

Nu ska vi beräkna sannolikheten att det totala antalet fordon $X$ är minst 12:

$P(X \geq 12) = 1 - P(X \leq 11)$

Vi måste nu beräkna $P(X \leq 11)$, vilket är summan av sannolikheterna från $X = 0$ till $X = 11$ för en Poissonfördelning med $\lambda = 7$:

$P(X \leq 11) = \sum_{k=0}^{11} \frac{e^{-7} 7^k}{k!}$

Jag kommer att beräkna detta uttryck nu.Sannolikheten att det under en minut kommer minst 12 fordon på bron är ungefär $0.053$ (med tre decimalers noggrannhet).

Har du några frågor eller vill du ha fler detaljer?

Här är några relaterade frågor att överväga:

1. Hur fungerar Poissonfördelningen generellt och vilka tillämpningar har den?
2. Hur beräknar man sannolikheten för ett specifikt antal händelser i en Poissonprocess?
3. Hur påverkar väntevärdet sannolikheten för extrema utfall i en Poissonfördelning?
4. Kan man tillämpa andra fördelningar för liknande problem och när är det lämpligt?
5. Hur påverkas lösningen om väntevärdena ändras?

Tips: Poissonfördelningen används ofta för att modellera antalet händelser som inträffar under en viss tidsperiod när dessa händelser sker oberoende av varandra.