Nous avons les deux fonctions suivantes :

1. $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}$
2. $g(x) = \sin^2(x) + \cos(x)$

L'objectif est de calculer les dérivées $f'(x)$ et $g'(x)$ en utilisant les règles de dérivation.

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1. Dérivée de $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}$

Nous allons utiliser la règle du quotient pour cette fonction. La règle du quotient nous dit que si nous avons une fonction de la forme $\frac{u(x)}{v(x)}$, alors :

$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

Ici :

• $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $v(x) = x^2 + 1$

Commençons par calculer $u'(x)$ et $v'(x)$ :

• $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

Maintenant, appliquons la règle du quotient :

$f'(x) = \frac{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)(x^2 + 1) - \left( \sqrt{x} \right)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Simplifions l'expression :

$f'(x) = \frac{\frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}} - 2x\sqrt{x}}{(x^2 + 1)^2}$

Nous pouvons réécrire $2x\sqrt{x}$ comme $2x^{3/2}$, ce qui nous donne :

$f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 4x^{5/2}}{2\sqrt{x}(x^2 + 1)^2}$

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2. Dérivée de $g(x) = \sin^2(x) + \cos(x)$

Nous allons maintenant dériver $g(x)$. Nous avons deux termes :

• Le premier terme $\sin^2(x)$ peut être dérivé en utilisant la règle de la chaîne : $\frac{d}{dx}[\sin^2(x)] = 2\sin(x)\cos(x)$.
• Le deuxième terme $\cos(x)$ est simplement $-\sin(x)$.

Ainsi, la dérivée de $g(x)$ est :

$g'(x) = 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x)$

Nous pouvons factoriser :

$g'(x) = \sin(x)(2\cos(x) - 1)$

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Résultats finaux :

• $f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 4x^{5/2}}{2\sqrt{x}(x^2 + 1)^2}$
• $g'(x) = \sin(x)(2\cos(x) - 1)$

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Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions sur ces dérivées ?

Voici quelques questions pour explorer davantage :

1. Comment simplifier les expressions de dérivées de fonctions plus complexes ?
2. Qu'est-ce que la règle de la chaîne et quand l'utiliser ?
3. Quelle est l'importance de la règle du quotient en calcul différentiel ?
4. Quelles sont les propriétés des fonctions trigonométriques lors de la dérivation ?
5. Comment utiliser les dérivées pour étudier les variations d'une fonction ?

Astuce : Toujours vérifier si la fonction est définie sur tout son domaine avant de dériver, surtout lorsqu'il y a des racines carrées ou des fractions impliquées.