Duas cartas são retiradas, sem reposição, de um
baralho de 52 cartas. Seja B o evento em que ambas
cartas são ases; seja As o evento em que o ás de espadas
é escolhido, e seja A o evento em que pelo menos um ás
é escolhido. Calcule
a) P[B|As ]
b) P[B|A]

Para resolver essas questões, vamos usar a fórmula de probabilidade condicional e o conhecimento sobre o total de cartas e ases em um baralho. Temos um baralho de 52 cartas e 4 ases, incluindo o ás de espadas.

### a) Cálculo de \( P[B|As] \)

- **Evento B:** Ambas as cartas são ases.
- **Evento As:** O ás de espadas é escolhido.

A probabilidade condicional é dada por \( P(B|As) = \frac{P(B \cap As)}{P(As)} \).

1. **Cálculo de \( P(As) \):**  
   Há 4 ases no baralho. Assim, a probabilidade de escolher o ás de espadas é:
   \[
   P(As) = \frac{1}{52}
   \]

2. **Cálculo de \( P(B \cap As) \):**  
   Esse é o evento em que o ás de espadas é escolhido e a outra carta é um ás também. Como já sabemos que o ás de espadas foi retirado, restam 51 cartas, das quais 3 são ases. Assim, a probabilidade de tirar um ás como segunda carta é:
   \[
   P(B \cap As) = \frac{1}{52} \cdot \frac{3}{51}
   \]

3. **Cálculo de \( P[B|As] \):**  
   Substituindo os valores na fórmula de probabilidade condicional:
   \[
   P(B|As) = \frac{P(B \cap As)}{P(As)} = \frac{\frac{1}{52} \cdot \frac{3}{51}}{\frac{1}{52}} = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}
   \]

### b) Cálculo de \( P[B|A] \)

- **Evento A:** Pelo menos um ás é escolhido.

A probabilidade condicional é dada por \( P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \).

1. **Cálculo de \( P(A) \):**  
   Vamos calcular a probabilidade de pelo menos um ás ser escolhido. Existem três casos possíveis para este evento:

   - Caso 1: Um ás é escolhido na primeira tentativa, com probabilidade:
     \[
     P(\text{1º ás}) = \frac{4}{52}
     \]

   - Caso 2: Um ás é escolhido na segunda tentativa, com probabilidade:
     \[
     P(\text{1º não ás e 2º ás}) = \left(\frac{48}{52}\right)\left(\frac{4}{51}\right)
     \]

   Portanto,
   \[
   P(A) = \frac{4}{52} + \left(\frac{48}{52}\right)\left(\frac{4}{51}\right)
   \]

2. **Cálculo de \( P(B \cap A) \):**  
   O evento B já está contido no evento A (se B ocorre, A também ocorre), então:
   \[
   P(B \cap A) = P(B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51}
   \]

3. **Cálculo de \( P[B|A] \):**  
   Substituindo os valores na fórmula de probabilidade condicional:
   \[
   P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{\frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51}}{\frac{4}{52} + \left(\frac{48}{52}\right)\left(\frac{4}{51}\right)}
   \]

Vamos agora simplificar e encontrar os valores finais.Os resultados dos cálculos são:

- **a) \( P[B|As] = \frac{1}{17} \)** ou aproximadamente **0.0588**.
- **b) \( P[B|A] \approx 0.0303 \)**.

Caso tenha mais dúvidas ou queira detalhes adicionais, fico à disposição!

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**Dica:** Quando calcular probabilidades com eventos dependentes, sempre considere a ordem dos eventos e a alteração das probabilidades com base nos eventos anteriores.

Learn how to calculate conditional probabilities involving the event of drawing aces from a deck of 52 cards. This problem covers advanced probability theory and conditional probability, providing detailed calculations and solutions.

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