Para calcular o desvio padrão do número de bolas retiradas $x$ até aparecer uma bola branca, consideramos $x$ como uma variável aleatória que pode assumir valores inteiros de 1 a 7 (pois é possível retirar até 7 bolas antes de encontrar uma branca, considerando que todas as pretas podem ser retiradas antes).

Passo 1: Determinar a distribuição de probabilidade

O número de bolas retiradas $x$ segue uma distribuição geométrica com probabilidade $p$ de sucesso (retirar uma bola branca) em cada tentativa.

Neste caso:

• $p = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (probabilidade de retirar uma bola branca na primeira tentativa).
• $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ (probabilidade de não retirar uma bola branca na primeira tentativa).

A probabilidade de precisar retirar exatamente $k$ bolas até encontrar uma branca é dada por: $P(X = k) = q^{k-1} \cdot p$ onde $k$ varia de 1 a 7.

Passo 2: Cálculo da Esperança $E[X]$

A esperança de $X$, que para uma distribuição geométrica é dada por: $E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Passo 3: Cálculo do Desvio Padrão

Para uma distribuição geométrica, a variância $\text{Var}(X)$ é dada por: $\text{Var}(X) = \frac{q}{p^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ O desvio padrão $\sigma$ é a raiz quadrada da variância: $\sigma = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Portanto, o desvio padrão de $x$ é $\frac{2}{3}$.

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Perguntas Relacionadas:

1. Como derivar a fórmula do desvio padrão para uma distribuição geométrica?
2. O que muda na distribuição se houvesse mais bolas pretas que brancas?
3. Como calcular o desvio padrão se a reposição das bolas fosse permitida?
4. Qual seria a esperança se $p$ fosse diferente?
5. Como determinar o desvio padrão para outras distribuições comuns?

Dica: Em distribuições geométricas, o desvio padrão é sempre menor que a esperança, refletindo a alta concentração de probabilidades em valores baixos de $x$.