Uma caixa contém 6 bolas brancas e 2 bolas pretas. Retiramos bolas uma por uma, sem reposição, até aparecer uma bola branca. Seja x o número de bolas retiradas, calcule o desvio padrão de x

Para calcular o desvio padrão do número de bolas retiradas \( x \) até aparecer uma bola branca, consideramos \( x \) como uma variável aleatória que pode assumir valores inteiros de 1 a 7 (pois é possível retirar até 7 bolas antes de encontrar uma branca, considerando que todas as pretas podem ser retiradas antes).

### Passo 1: Determinar a distribuição de probabilidade
O número de bolas retiradas \( x \) segue uma distribuição geométrica com probabilidade \( p \) de sucesso (retirar uma bola branca) em cada tentativa.

Neste caso:
- \( p = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) (probabilidade de retirar uma bola branca na primeira tentativa).
- \( q = 1 - p = \frac{1}{4} \) (probabilidade de não retirar uma bola branca na primeira tentativa).

A probabilidade de precisar retirar exatamente \( k \) bolas até encontrar uma branca é dada por:
\[
P(X = k) = q^{k-1} \cdot p
\]
onde \( k \) varia de 1 a 7.

### Passo 2: Cálculo da Esperança \( E[X] \)
A esperança de \( X \), que para uma distribuição geométrica é dada por:
\[
E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}
\]

### Passo 3: Cálculo do Desvio Padrão
Para uma distribuição geométrica, a variância \( \text{Var}(X) \) é dada por:
\[
\text{Var}(X) = \frac{q}{p^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}
\]
O desvio padrão \( \sigma \) é a raiz quadrada da variância:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
\]

Portanto, o desvio padrão de \( x \) é \( \frac{2}{3} \).

---

**Você tem dúvidas ou quer mais detalhes?**

**Perguntas Relacionadas:**
1. Como derivar a fórmula do desvio padrão para uma distribuição geométrica?
2. O que muda na distribuição se houvesse mais bolas pretas que brancas?
3. Como calcular o desvio padrão se a reposição das bolas fosse permitida?
4. Qual seria a esperança se \( p \) fosse diferente?
5. Como determinar o desvio padrão para outras distribuições comuns?

**Dica:** Em distribuições geométricas, o desvio padrão é sempre menor que a esperança, refletindo a alta concentração de probabilidades em valores baixos de \( x \).

Learn how to calculate the standard deviation of the number of balls drawn until a white ball appears from a box containing 6 white balls and 2 black balls, without replacement. This problem involves probability theory and geometric distribution, with step-by-step calculations for expected value and standard deviation. Suitable for college-level mathematics.

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