Para resolver o problema, precisamos calcular o desvio padrão da variável aleatória $X$, que representa o número de bolas retiradas até aparecer uma bola branca. Vamos abordar o problema passo a passo.

1. Análise do Problema

A caixa contém 6 bolas brancas e 2 bolas pretas, totalizando 8 bolas. Como as bolas são retiradas sem reposição, a cada retirada, a probabilidade de obter uma bola branca ou preta muda.

A variável aleatória $X$ pode assumir os valores 1, 2, 3, ..., 7, pois o máximo que podemos retirar antes de obter uma bola branca é 7 bolas (no caso de retirar todas as 2 pretas primeiro).

2. Cálculo das Probabilidades

Vamos calcular a probabilidade $P(X = k)$, ou seja, a probabilidade de precisar retirar $k$ bolas até aparecer uma bola branca:

• $P(X = 1)$: A probabilidade de a primeira bola ser branca é:

  $P(X = 1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

• $P(X = 2)$: A primeira bola é preta e a segunda é branca:

  $P(X = 2) = \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{14}$

• $P(X = 3)$: As duas primeiras bolas são pretas e a terceira é branca:

  $P(X = 3) = \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \times \frac{6}{6} = \frac{1}{56}$

Os valores de $P(X = k)$ para $k \geq 4$ serão zero, pois, se as duas primeiras bolas forem pretas, a terceira deve ser branca, já que só restarão bolas brancas.

3. Valor Esperado $E(X)$

O valor esperado $E(X)$ é dado por:

$E(X) = \sum_{k=1}^{7} k \cdot P(X = k)$

Calculando:

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