Uma caixa contém 6 bolas brancas e 2 pretas. Rrtira-se uma por uma, sem reposição, até aparecer uma branca. Seja X o número de bolas retiradas. Calcule o desvio padrão de X.

Para resolver o problema, precisamos calcular o desvio padrão da variável aleatória \( X \), que representa o número de bolas retiradas até aparecer uma bola branca. Vamos abordar o problema passo a passo.

### 1. Análise do Problema

A caixa contém 6 bolas brancas e 2 bolas pretas, totalizando 8 bolas. Como as bolas são retiradas sem reposição, a cada retirada, a probabilidade de obter uma bola branca ou preta muda.

A variável aleatória \( X \) pode assumir os valores 1, 2, 3, ..., 7, pois o máximo que podemos retirar antes de obter uma bola branca é 7 bolas (no caso de retirar todas as 2 pretas primeiro).

### 2. Cálculo das Probabilidades
Vamos calcular a probabilidade \( P(X = k) \), ou seja, a probabilidade de precisar retirar \( k \) bolas até aparecer uma bola branca:

- \( P(X = 1) \): A probabilidade de a primeira bola ser branca é:

  \[
  P(X = 1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
  \]

- \( P(X = 2) \): A primeira bola é preta e a segunda é branca:

  \[
  P(X = 2) = \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{14}
  \]

- \( P(X = 3) \): As duas primeiras bolas são pretas e a terceira é branca:

  \[
  P(X = 3) = \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \times \frac{6}{6} = \frac{1}{56}
  \]

Os valores de \( P(X = k) \) para \( k \geq 4 \) serão zero, pois, se as duas primeiras bolas forem pretas, a terceira deve ser branca, já que só restarão bolas brancas.

### 3. Valor Esperado \( E(X) \)
O valor esperado \( E(X) \) é dado por:

\[
E(X) = \sum_{k=1}^{7} k \cdot P(X = k)
\]

Calculando:

\[
E(X) = 1 \cdot \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{3}{14} + 3 \cdot \frac{1}{56} 
= \frac{3}{4} + \frac{6}{14} + \frac{3}{56}
= \frac{3}{4} + \frac{3}{7} + \frac{3}{56}
= \frac{42 + 24 + 3}{56}
= \frac{69}{56}
\]

### 4. \( E(X^2) \)
Precisamos também calcular \( E(X^2) \):

\[
E(X^2) = \sum_{k=1}^{7} k^2 \cdot P(X = k)
\]

\[
E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{4} + 2^2 \cdot \frac{3}{14} + 3^2 \cdot \frac{1}{56}
= \frac{3}{4} + \frac{12}{14} + \frac{9}{56}
= \frac{42 + 48 + 9}{56}
= \frac{99}{56}
\]

### 5. Variância e Desvio Padrão
A variância \( \text{Var}(X) \) é dada por:

\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]

\[
\text{Var}(X) = \frac{99}{56} - \left(\frac{69}{56}\right)^2
\]

\[
\text{Var}(X) = \frac{99}{56} - \frac{4761}{3136}
\]

\[
\text{Var}(X) \approx 1.53 - 1.52 = 0.01
\]

O desvio padrão \( \sigma_X \) é a raiz quadrada da variância:

\[
\sigma_X = \sqrt{0.01} \approx 0.1
\]

Portanto, o desvio padrão de \( X \) é aproximadamente 0.1.

---

**Quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?** Aqui estão 5 perguntas relativas para expandir:

1. Como interpretar o valor do desvio padrão neste contexto?
2. O que aconteceria se a retirada das bolas fosse com reposição?
3. Qual seria o desvio padrão se houvesse um número diferente de bolas brancas e pretas?
4. Como o cálculo muda se considerarmos diferentes distribuições de bolas?
5. Qual é a interpretação física do valor esperado \( E(X) \)?

**Dica**: O desvio padrão mede a dispersão em torno do valor esperado, sendo útil para entender a variabilidade do número de retiradas até o evento desejado.

Learn how to calculate the standard deviation of the number of balls drawn until the first white ball appears from a box containing 6 white balls and 2 black balls. This problem involves probability theory and statistical calculations, suitable for university-level students.

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