Vamos resolver o problema de calcular o desvio padrão da variável aleatória $X$, que representa o número de bolas retiradas até aparecer uma bola branca.

1. Análise da Variável Aleatória $X$

A caixa contém 6 bolas brancas e 2 bolas pretas, totalizando 8 bolas. A retirada é sem reposição, e $X$ pode assumir os valores 1, 2, 3, ..., 8, dependendo de quando a primeira bola branca é retirada.

2. Probabilidades

Vamos calcular a probabilidade $P(X = k)$, ou seja, a probabilidade de que a primeira bola branca apareça na $k$-ésima retirada:

• $P(X = 1)$: A primeira bola é branca: $P(X = 1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

• $P(X = 2)$: A primeira bola é preta e a segunda é branca: $P(X = 2) = \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{14}$

• $P(X = 3)$: As duas primeiras bolas são pretas e a terceira é branca: $P(X = 3) = \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \times \frac{6}{6} = \frac{1}{28}$

• $P(X = k)$ para $k > 3$ será zero, pois as duas primeiras bolas pretas já foram retiradas.

3. Cálculo do Valor Esperado $E(X)$

O valor esperado $E(X)$ é dado por: $E(X) = \sum_{k=1}^{3} k \cdot P(X = k)$

Calculando:

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