Uma caixa contém 6 bolas brancas e 2 pretas. Rrtira-se uma por uma, sem reposição, até aparecer uma branca. Seja X o número de bolas retiradas. Calcule o desvio padrão de X.

Vamos resolver o problema de calcular o desvio padrão da variável aleatória \( X \), que representa o número de bolas retiradas até aparecer uma bola branca.

### 1. Análise da Variável Aleatória \( X \)

A caixa contém 6 bolas brancas e 2 bolas pretas, totalizando 8 bolas. A retirada é sem reposição, e \( X \) pode assumir os valores 1, 2, 3, ..., 8, dependendo de quando a primeira bola branca é retirada.

### 2. Probabilidades

Vamos calcular a probabilidade \( P(X = k) \), ou seja, a probabilidade de que a primeira bola branca apareça na \( k \)-ésima retirada:

- \( P(X = 1) \): A primeira bola é branca:
  \[
  P(X = 1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
  \]

- \( P(X = 2) \): A primeira bola é preta e a segunda é branca:
  \[
  P(X = 2) = \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{3}{14}
  \]

- \( P(X = 3) \): As duas primeiras bolas são pretas e a terceira é branca:
  \[
  P(X = 3) = \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \times \frac{6}{6} = \frac{1}{28}
  \]

- \( P(X = k) \) para \( k > 3 \) será zero, pois as duas primeiras bolas pretas já foram retiradas.

### 3. Cálculo do Valor Esperado \( E(X) \)

O valor esperado \( E(X) \) é dado por:
\[
E(X) = \sum_{k=1}^{3} k \cdot P(X = k)
\]

Calculando:
\[
E(X) = 1 \cdot \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{3}{14} + 3 \cdot \frac{1}{28}
= \frac{3}{4} + \frac{6}{14} + \frac{3}{28}
= \frac{42 + 12 + 3}{56}
= \frac{57}{56}
\]

### 4. Cálculo de \( E(X^2) \)

Precisamos calcular \( E(X^2) \):

\[
E(X^2) = \sum_{k=1}^{3} k^2 \cdot P(X = k)
\]

\[
E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{4} + 2^2 \cdot \frac{3}{14} + 3^2 \cdot \frac{1}{28}
= \frac{3}{4} + \frac{12}{14} + \frac{9}{28}
= \frac{42 + 24 + 9}{56}
= \frac{75}{56}
\]

### 5. Variância e Desvio Padrão

A variância \( \text{Var}(X) \) é dada por:

\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]

Substituindo os valores:

\[
\text{Var}(X) = \frac{75}{56} - \left(\frac{57}{56}\right)^2
\]

Calculando:

\[
\text{Var}(X) = \frac{75}{56} - \frac{3249}{3136}
\]

Convertendo para frações:

\[
\text{Var}(X) = \frac{75 \times 56}{3136} - \frac{3249}{3136} = \frac{4200 - 3249}{3136} = \frac{951}{3136}
\]

Portanto, o desvio padrão \( \sigma_X \) é:

\[
\sigma_X = \sqrt{\frac{951}{3136}} \approx 0.55
\]

O desvio padrão de \( X \) é aproximadamente 0.55.

---

**Você quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?** Aqui estão 5 perguntas relativas para expandir:

1. Como o valor esperado \( E(X) \) se relaciona com o número médio de retiradas?
2. O que significa um desvio padrão de 0,55 neste contexto?
3. Como mudariam os cálculos se houvesse mais bolas pretas na caixa?
4. Se a retirada fosse feita com reposição, como isso afetaria o desvio padrão?
5. Existe uma maneira de simplificar esses cálculos usando distribuições conhecidas?

**Dica**: Em problemas de variáveis aleatórias, a variância é fundamental para entender a dispersão dos possíveis resultados em relação ao valor esperado.

Learn how to calculate the standard deviation of the random variable X, representing the number of balls drawn until the first white ball appears from a box containing 6 white balls and 2 black balls. This problem involves probability calculations, expected value, variance, and standard deviation. Suitable for advanced high school students.

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