Pentru a calcula $\sin 2\alpha$, vom folosi identități trigonometrice și datele oferite.

1. Știm că $\tan(\alpha/2) = \sqrt{2}$.

2. Relațiile trigonometrice pentru unghiuri duble sunt: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

3. Din $\tan(\alpha/2)$, putem determina $\sin(\alpha/2)$ și $\cos(\alpha/2)$. Relația dintre $\tan(\alpha/2)$, $\sin(\alpha/2)$ și $\cos(\alpha/2)$ este: $\tan(\alpha/2) = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$ $\sqrt{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$

4. Aceasta înseamnă că $\sin(\alpha/2) = \sqrt{2} \cos(\alpha/2)$.

5. Știm că $\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2) = 1$. Înlocuind $\sin(\alpha/2)$: $(\sqrt{2} \cos(\alpha/2))^2 + \cos^2(\alpha/2) = 1$ $2 \cos^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2) = 1$ $3 \cos^2(\alpha/2) = 1$ $\cos^2(\alpha/2) = \frac{1}{3}$ $\cos(\alpha/2) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

6. Acum, $\sin(\alpha/2)$: $\sin(\alpha/2) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

7. Acum folosim formulele pentru $\sin \alpha$ și $\cos \alpha$ în termeni de unghiuri duble: $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$ $\sin \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

8. Similar, pentru $\cos \alpha$: $\cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2) - 1$ $\cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$

9. Acum calculăm $\sin 2\alpha$: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ $\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot -\frac{1}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

Așadar, $\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Doriți mai multe detalii sau aveți întrebări?

Iată 5 întrebări pe care le puteți pune:

1. Cum se calculează $\cos 2\alpha$ folosind $\tan(\alpha/2)$?
2. Care este valoarea lui $\cos(\alpha/2)$ dacă $\tan(\alpha/2) = \sqrt{3}$?
3. Cum se deduce formula pentru $\sin 2\alpha$ din identitățile trigonometrice?
4. Cum se transformă $\tan(\alpha/2)$ în $\sin(\alpha/2)$ și $\cos(\alpha/2)$?
5. Cum se verifică rezultatul obținut pentru $\sin 2\alpha$?

Tip: Folosiți întotdeauna identitățile trigonometrice de bază pentru a simplifica calculele complexe.