Stiind ca tg α/2=√2  se calculeze sin 2α.

Pentru a calcula \(\sin 2\alpha\), vom folosi identități trigonometrice și datele oferite.

1. Știm că \(\tan(\alpha/2) = \sqrt{2}\).

2. Relațiile trigonometrice pentru unghiuri duble sunt:
   \[
   \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
   \]

3. Din \(\tan(\alpha/2)\), putem determina \(\sin(\alpha/2)\) și \(\cos(\alpha/2)\). Relația dintre \(\tan(\alpha/2)\), \(\sin(\alpha/2)\) și \(\cos(\alpha/2)\) este:
   \[
   \tan(\alpha/2) = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}
   \]
   \[
   \sqrt{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}
   \]

4. Aceasta înseamnă că \(\sin(\alpha/2) = \sqrt{2} \cos(\alpha/2)\).

5. Știm că \(\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2) = 1\). Înlocuind \(\sin(\alpha/2)\):
   \[
   (\sqrt{2} \cos(\alpha/2))^2 + \cos^2(\alpha/2) = 1
   \]
   \[
   2 \cos^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2) = 1
   \]
   \[
   3 \cos^2(\alpha/2) = 1
   \]
   \[
   \cos^2(\alpha/2) = \frac{1}{3}
   \]
   \[
   \cos(\alpha/2) = \frac{1}{\sqrt{3}}
   \]

6. Acum, \(\sin(\alpha/2)\):
   \[
   \sin(\alpha/2) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
   \]

7. Acum folosim formulele pentru \(\sin \alpha\) și \(\cos \alpha\) în termeni de unghiuri duble:
   \[
   \sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)
   \]
   \[
   \sin \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
   \]

8. Similar, pentru \(\cos \alpha\):
   \[
   \cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2) - 1
   \]
   \[
   \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}
   \]

9. Acum calculăm \(\sin 2\alpha\):
   \[
   \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
   \]
   \[
   \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot -\frac{1}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{9}
   \]

Așadar, \(\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{2}}{9}\).

Doriți mai multe detalii sau aveți întrebări?

Iată 5 întrebări pe care le puteți pune:
1. Cum se calculează \(\cos 2\alpha\) folosind \(\tan(\alpha/2)\)?
2. Care este valoarea lui \(\cos(\alpha/2)\) dacă \(\tan(\alpha/2) = \sqrt{3}\)?
3. Cum se deduce formula pentru \(\sin 2\alpha\) din identitățile trigonometrice?
4. Cum se transformă \(\tan(\alpha/2)\) în \(\sin(\alpha/2)\) și \(\cos(\alpha/2)\)?
5. Cum se verifică rezultatul obținut pentru \(\sin 2\alpha\)?

Tip: Folosiți întotdeauna identitățile trigonometrice de bază pentru a simplifica calculele complexe.

Learn how to calculate sin 2α using trigonometric identities and given data. This problem involves applying double angle formulas and trigonometric relationships. Suitable for high school students studying trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation