Вычислите
cos
2
α
, если
cos
α
+
2
sin
α
sin
α
−
2
cos
α
=
−
2
.

Дано уравнение:

\[
\cos \alpha + 2 \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - 2 \cos \alpha}{-2}.
\]

Прежде всего упростим правую часть уравнения:

\[
\frac{\sin \alpha - 2 \cos \alpha}{-2} = -\frac{\sin \alpha}{2} + \cos \alpha.
\]

Таким образом, уравнение примет вид:

\[
\cos \alpha + 2 \sin \alpha = -\frac{\sin \alpha}{2} + \cos \alpha.
\]

Теперь вычтем \( \cos \alpha \) из обеих частей уравнения:

\[
2 \sin \alpha = -\frac{\sin \alpha}{2}.
\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[
4 \sin \alpha = -\sin \alpha.
\]

Переносим \( \sin \alpha \) в левую часть:

\[
4 \sin \alpha + \sin \alpha = 0,
\]

\[
5 \sin \alpha = 0.
\]

Значит, \( \sin \alpha = 0 \).

Поскольку \( \sin \alpha = 0 \), находим \( \cos 2\alpha \) по формуле:

\[
\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1.
\]

Если \( \sin \alpha = 0 \), то \( \alpha = 0 + k\pi \), где \( k \in \mathbb{Z} \), а значит \( \cos \alpha = 1 \) (для \( \alpha = 0 \)).

Тогда:

\[
\cos 2\alpha = 2 \cdot 1^2 - 1 = 1.
\]

Таким образом, \( \cos 2\alpha = 1 \).

Если вам нужны детали или есть вопросы, дайте знать!

**5 дополнительных вопросов для практики:**

1. Какой общий вид формулы для \( \cos 2\alpha \)?
2. Как преобразовываются тригонометрические выражения с помощью формул сложения?
3. Что можно сказать об углах, для которых \( \sin \alpha = 0 \)?
4. Как решать уравнения с тригонометрическими функциями через замены?
5. Как определить знаки синуса и косинуса в разных четвертях?

**Совет:** При решении тригонометрических уравнений удобно использовать тригонометрический круг для визуализации значений функций в разных квадрантах.

Вычислите cos 2α, если cos α + 2 sin α sin α − 2 cos α = −2.

Learn how to calculate cos 2α from a given trigonometric equation, involving simplification and the use of the double angle formula. Detailed steps suitable for high school students studying trigonometry.

Math Problem Statement

Вычислите cos 2 α , если cos α + 2 sin α sin α − 2 cos α

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation