Este problema combina principios de conservación del momento angular para determinar la velocidad de rotación de la plataforma después de que las bolas son disparadas. Vamos a resolverlo paso a paso:

1. Datos relevantes:

• Radio de la plataforma: $R = 0.5 \, \text{m}$
• Masa de la plataforma: $M = 0.45 \, \text{kg}$
• Distancia de las pistolas al centro: $r = 0.25 \, \text{m}$
• Masa de cada bola: $m_b = 0.05 \, \text{kg}$
• Velocidad de las bolas: $v_b = 9 \, \text{m/s}$

2. Principio de conservación del momento angular:

El sistema inicial está en reposo, por lo que su momento angular inicial es cero ($L_i = 0$). Luego, las bolas son disparadas, impartiendo un momento angular al sistema.

El momento angular total después de que las bolas salen de la plataforma ($L_f$) debe ser igual al momento angular inicial:

$L_i = L_f$

$0 = L_{\text{plataforma}} + L_{\text{bolas}}$

Esto implica que el momento angular adquirido por la plataforma debe ser igual y opuesto al momento angular de las bolas.

3. Momento angular de las bolas:

El momento angular de una partícula que se mueve con velocidad tangencial respecto a un eje de rotación se calcula como:

$L = r \cdot m_b \cdot v_b$

Para cada bola, esto es:

$L_{\text{bola}} = r \cdot m_b \cdot v_b = 0.25 \cdot 0.05 \cdot 9 = 0.1125 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$

Hay dos bolas, y sus contribuciones al momento angular son opuestas. Sin embargo, debido a la configuración (perpendiculares al diámetro), ambos generan el mismo efecto neto en la plataforma (hacen que esta gire en una misma dirección):

$L_{\text{total bolas}} = 2 \cdot L_{\text{bola}} = 2 \cdot 0.1125 = 0.225 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$

4. Momento angular de la plataforma:

El momento angular de la plataforma se calcula como:

$L_{\text{plataforma}} = I \cdot \omega$

Donde $I$ es el momento de inercia de la plataforma y $\omega$ es su velocidad angular.

El momento de inercia de una plataforma circular uniforme que gira alrededor de su eje central es:

$I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.45 \cdot (0.5)^2 = 0.05625 \, \text{kg·m}^2$

Por conservación del momento angular:

$L_{\text{plataforma}} = -L_{\text{total bolas}}$

Sustituyendo:

$I \cdot \omega = 0.225$

5. Resolviendo para $\omega$:

Despejamos $\omega$:

$\omega = \frac{L_{\text{total bolas}}}{I} = \frac{0.225}{0.05625} = 4 \, \text{rad/s}$

Respuesta:

La velocidad de rotación de la plataforma es:

$\boxed{\omega = 4 \, \text{rad/s}}$

¿Te gustaría más detalles o explicación sobre algún paso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que pueden interesarte:

1. ¿Cómo se calcula el momento de inercia para diferentes objetos?
2. ¿Qué ocurre si las bolas no son disparadas simultáneamente?
3. ¿Cómo afectaría si las bolas tienen diferente masa o velocidad?
4. ¿Qué sucedería si las pistolas están colocadas más lejos del centro?
5. ¿Cómo se relaciona este problema con las leyes de conservación en física?

Tip: Siempre identifica si el momento angular total inicial es cero; esto simplifica muchos cálculos en problemas de rotación.