四封信，送到四个地方，只有一封信送对地方的概率是多少

四封信送到四个不同的地方，每个地方对应一个特定的信件，这就是一个典型的错排（或称为完全错置）问题。我们需要计算只有一封信送对地方的概率。

首先，我们需要了解错排的概念：错排是指所有元素都没有在原来的位置上。

假设我们有 \( n \) 封信件，\( n = 4 \) 时，错排的总数可以用公式计算：
\[ D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \]

对于 \( n = 4 \)，
\[ D_4 = 4! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} \right) \]
\[ = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) \]
\[ = 24 \left( 1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + 0.0417 \right) \]
\[ = 24 \times 0.375 \]
\[ = 9 \]

总共有 \( 4! = 24 \) 种排列方法，所以完全错排的概率是：
\[ P(D_4) = \frac{D_4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]

现在我们来计算只有一封信送对地方的情况。假设只有一封信送对了，那么其余三封信必须全部错排。这等同于在其余三封信中进行完全错排的问题。

对于 \( n = 3 \)，完全错排数 \( D_3 \) 计算如下：
\[ D_3 = 3! \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} \right) \]
\[ = 6 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) \]
\[ = 6 \left( 1 - 1 + 0.5 - 0.1667 \right) \]
\[ = 6 \times 0.3333 \]
\[ = 2 \]

因此，只有一封信送对地方的排列数是：
\[ \binom{4}{1} \times D_3 = 4 \times 2 = 8 \]

所以，概率为：
\[ P(\text{只有一封信送对地方}) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \]

总结：只有一封信送对地方的概率是 \( \frac{1}{3} \)。

您是否需要详细的步骤或有其他问题？以下是您可能感兴趣的五个问题：

1. 如何计算错排的概率？
2. 有关组合和排列的问题有哪些？
3. 什么是错排的数学背景？
4. 怎样解决更多错排的实例问题？
5. 解释排列组合的基本定理。

提示：解决错排问题时，可以利用递归公式来简化计算过程。

Learn how to calculate the probability of exactly one letter being correctly delivered among four letters sent to four different places. This problem involves permutations, combinations, and the principle of inclusion-exclusion theorem in probability. Suitable for students in Grades 9-12.

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