Joga-se um dado honesto. Qual é a probabilidade de saírem 8 seis nos primeiros 15 lançamentos:

Para calcular a probabilidade de obter exatamente 8 vezes o número 6 em 15 lançamentos de um dado honesto, podemos usar a **distribuição binomial**. A distribuição binomial é apropriada aqui porque:

1. Temos um número fixo de tentativas (15 lançamentos).
2. Cada tentativa tem dois resultados possíveis (ou o número 6 é obtido, ou não).
3. A probabilidade de sucesso (obter um 6) é constante em cada lançamento.

### Passos para resolver:

1. **Definições**:
   - Número total de lançamentos (n) = 15.
   - Número de sucessos desejados (k) = 8.
   - Probabilidade de sucesso em um único lançamento (p) = \( \frac{1}{6} \).
   - Probabilidade de falha em um único lançamento (q) = \( 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

2. **Fórmula da distribuição binomial**:
   \[
   P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
   \]
   Onde \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, calculado como:
   \[
   \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
   \]

3. **Substituindo os valores**:
   \[
   P(X = 8) = \binom{15}{8} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^8 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{15-8}
   \]

4. **Calculando**:
   Primeiro, vamos calcular o coeficiente binomial \( \binom{15}{8} \):
   \[
   \binom{15}{8} = \frac{15!}{8! \cdot 7!} = 6435
   \]
   Agora, calculamos a probabilidade:
   \[
   P(X = 8) = 6435 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^8 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^7
   \]

   Vamos calcular isso:

   - \( \left(\frac{1}{6}\right)^8 = \frac{1}{1679616} \)
   - \( \left(\frac{5}{6}\right)^7 \approx 0,279 \)
   - Multiplicando tudo:
     \[
     P(X = 8) = 6435 \times \frac{1}{1679616} \times 0,279 \approx 0,00107
     \]

Portanto, a probabilidade de obter exatamente 8 seis nos primeiros 15 lançamentos é aproximadamente **0,107%**.

---

**Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?**  
Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como calcular a probabilidade de obter pelo menos um seis em 10 lançamentos?
2. Qual é a probabilidade de não sair nenhum seis em 20 lançamentos?
3. Como a fórmula da distribuição binomial muda se o dado não for honesto?
4. O que acontece com a probabilidade se quisermos exatamente 9 seis em 15 lançamentos?
5. Como calcular a média e a variância em uma distribuição binomial?

**Dica**: A distribuição binomial é extremamente útil para situações de repetição com dois resultados possíveis, como sucessos e falhas.

Learn how to calculate the probability of rolling exactly 8 sixes in 15 rolls of a fair die using the binomial distribution. Step-by-step solution includes factorial calculations and probability formulas. Suitable for advanced high school students and beyond.

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