4. Calcular el número de lados de un polígono, donde el
número total de diagonales es 54.
a) 12
b) 18
c) 15
d) 14

Para calcular el número de lados \( n \) de un polígono donde se conoce el número total de diagonales, se utiliza la siguiente fórmula:

\[
\text{Número de diagonales} = \frac{n(n-3)}{2}
\]

Dado que el número total de diagonales es 54, igualamos la fórmula a 54:

\[
\frac{n(n-3)}{2} = 54
\]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para eliminar el denominador:

\[
n(n-3) = 108
\]

Esto nos da una ecuación cuadrática:

\[
n^2 - 3n - 108 = 0
\]

Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \( a = 1 \), \( b = -3 \) y \( c = -108 \):

\[
n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-108)}}{2(1)}
\]

\[
n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}
\]

\[
n = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}
\]

\[
n = \frac{3 \pm 21}{2}
\]

Esto nos da dos posibles soluciones:

\[
n = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12
\]
\[
n = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9
\]

Dado que \( n \) debe ser un número positivo, descartamos \( n = -9 \). Por lo tanto, el número de lados del polígono es:

\[
\boxed{12}
\]

¿Te gustaría que te explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta adicional?

---

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede encontrar el número de diagonales si se conoce el número de lados de un polígono?
2. ¿Qué relación existe entre el número de lados y el número de vértices en un polígono?
3. ¿Cómo se puede verificar la solución de una ecuación cuadrática?
4. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono regular?
5. ¿Cómo se calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono con \( n \) lados?

**Tip:** Siempre es útil revisar los pasos intermedios en la resolución de ecuaciones cuadráticas para asegurarse de que todos los cálculos sean correctos.

Learn how to determine the number of sides of a polygon when the total number of diagonals is given. Solve the quadratic equation derived from the properties of polygons and diagonals. Suitable for high school students.

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