在一个半径为 
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R 的球体 
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V 内，有一个密度函数为 
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=⋅ρ(r)=k⋅r 的质量分布，其中 k 是常数，r 是从球心到球内任意一点的距离。求球体 V 内的质量。

我们要求一个半径为 \( R \) 的球体 \( V \) 内的质量，其中密度函数为 \( \rho(r) = k \cdot r \)，其中 \( k \) 是常数，\( r \) 是从球心到球内任意一点的距离。

首先，我们需要将密度函数积分在整个球体的体积上来求出质量。球体的体积元素 \( dV \) 在球坐标系中可以表示为：

\[ dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]

因此，质量 \( M \) 可以表示为：

\[ M = \iiint_V \rho(r) \, dV \]

将密度函数 \( \rho(r) = k \cdot r \) 代入上式，并转换为球坐标积分：

\[ M = \iiint_V (k \cdot r) \cdot r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]

积分的范围是 \( r \) 从 0 到 \( R \)，\( \theta \) 从 0 到 \( \pi \)，\( \phi \) 从 0 到 \( 2\pi \)。于是我们得到：

\[ M = k \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^3 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]

我们可以将积分分解成三个独立的部分：

\[ M = k \left( \int_0^R r^3 \, dr \right) \left( \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \right) \left( \int_0^{2\pi} d\phi \right) \]

首先计算 \( \int_0^R r^3 \, dr \)：

\[ \int_0^R r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{R^4}{4} \]

然后计算 \( \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \)：

\[ \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 2 \]

最后计算 \( \int_0^{2\pi} d\phi \)：

\[ \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi \]

将这些结果组合起来：

\[ M = k \left( \frac{R^4}{4} \right) \cdot 2 \cdot 2\pi \]

\[ M = k \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 4\pi \]

\[ M = k \cdot \pi \cdot R^4 \]

因此，球体 \( V \) 内的质量 \( M \) 为：

\[ M = k \pi R^4 \]

您有其他问题或需要详细解释的部分吗？

### 提供的五个问题：

1. 如何计算一个复杂形状物体的质量？
2. 如何在球坐标系中进行三重积分？
3. 如何求密度函数为变量函数的球体质量？
4. 如何推导球体的体积公式？
5. 如何计算不均匀密度分布的重心？

### 提示：

在求解物理或工程问题时，合理选择坐标系能够极大简化问题的求解过程。

Learn how to calculate the mass inside a sphere with a variable density function using integral calculus and spherical coordinates. This problem involves finding the mass distribution using a given density function and integrating over spherical volumes.

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