我们要求一个半径为 $R$ 的球体 $V$ 内的质量，其中密度函数为 $\rho(r) = k \cdot r$，其中 $k$ 是常数，$r$ 是从球心到球内任意一点的距离。

首先，我们需要将密度函数积分在整个球体的体积上来求出质量。球体的体积元素 $dV$ 在球坐标系中可以表示为：

$dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$

因此，质量 $M$ 可以表示为：

$M = \iiint_V \rho(r) \, dV$

将密度函数 $\rho(r) = k \cdot r$ 代入上式，并转换为球坐标积分：

$M = \iiint_V (k \cdot r) \cdot r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$

积分的范围是 $r$ 从 0 到 $R$，$\theta$ 从 0 到 $\pi$，$\phi$ 从 0 到 $2\pi$。于是我们得到：

$M = k \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^3 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$

我们可以将积分分解成三个独立的部分：

$M = k \left( \int_0^R r^3 \, dr \right) \left( \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \right) \left( \int_0^{2\pi} d\phi \right)$

首先计算 $\int_0^R r^3 \, dr$：

$\int_0^R r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{R^4}{4}$

然后计算 $\int_0^\pi \sin\theta \, d\theta$：

$\int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 2$

最后计算 $\int_0^{2\pi} d\phi$：

$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$

将这些结果组合起来：

$M = k \left( \frac{R^4}{4} \right) \cdot 2 \cdot 2\pi$

$M = k \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 4\pi$

$M = k \cdot \pi \cdot R^4$

因此，球体 $V$ 内的质量 $M$ 为：

$M = k \pi R^4$

您有其他问题或需要详细解释的部分吗？

提供的五个问题：

1. 如何计算一个复杂形状物体的质量？
2. 如何在球坐标系中进行三重积分？
3. 如何求密度函数为变量函数的球体质量？
4. 如何推导球体的体积公式？
5. 如何计算不均匀密度分布的重心？

提示：

在求解物理或工程问题时，合理选择坐标系能够极大简化问题的求解过程。