Para resolver este problema, necesitamos relacionar la distancia de $B$ a $P$ y el ángulo que la recta $AB$ forma con el plano $P$ para calcular la longitud de $AB$.

1. Denotemos:

   • $d = 12$ m como la distancia perpendicular desde el punto $B$ al plano $P$.
   • $\theta = 30^\circ$ como el ángulo entre la recta $AB$ y el plano $P$.

2. Dado el ángulo y la distancia perpendicular desde $B$ al plano, podemos utilizar trigonometría para determinar $AB$.

Paso 1: Relacionar AB con la distancia perpendicular

La distancia $d$ es el cateto opuesto en el triángulo rectángulo que se forma al proyectar $B$ sobre el plano $P$ (llamemos a este punto $B'$) y la recta $AB$ como la hipotenusa de este triángulo.

Utilizamos la definición de seno: $\sin(\theta) = \frac{d}{AB}$

Paso 2: Despejar AB

Reordenamos la ecuación para despejar $AB$: $AB = \frac{d}{\sin(\theta)}$

Paso 3: Sustituir valores

Sustituimos $d = 12$ m y $\theta = 30^\circ$, y usamos el valor de $\sin(30^\circ) = 0.5$: $AB = \frac{12}{0.5} = 24 \text{ m}$

Respuesta

La longitud de $AB$ es $\mathbf{24 \, m}$.

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Tip

Recuerda que los ángulos con planos suelen implicar proyecciones perpendiculares, una herramienta clave en problemas tridimensionales.