dos puntos "A" y "B" situados a uno y otro lado de un plano "p", distan 2u y 10u. Si l proyeccion de la recta AB sobre el plano P mide 5u; calcula AB

Para resolver este problema, vamos a utilizar el teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional, teniendo en cuenta las distancias y la proyección de la recta \( AB \) sobre el plano \( p \).

1. **Identificamos los datos:**
   - La distancia entre los puntos \( A \) y el plano \( p \) es de \( 2u \).
   - La distancia entre los puntos \( B \) y el plano \( p \) es de \( 10u \).
   - La proyección de la recta \( AB \) sobre el plano \( p \) mide \( 5u \).

2. **Definimos la geometría del problema:**
   - La distancia entre \( A \) y \( B \) (que llamaremos \( d \)) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde:
     - Un cateto es la distancia total entre \( A \) y \( B \) en dirección perpendicular al plano \( p \), es decir, \( 2u + 10u = 12u \).
     - El otro cateto es la proyección de \( AB \) sobre el plano \( p \), que mide \( 5u \).

3. **Aplicamos el teorema de Pitágoras en el espacio:**
   \[
   d = \sqrt{(12u)^2 + (5u)^2}
   \]

4. **Calculamos:**
   \[
   d = \sqrt{144u^2 + 25u^2} = \sqrt{169u^2} = 13u
   \]

Por lo tanto, la distancia entre \( A \) y \( B \), o la longitud de \( AB \), es de **13 unidades** (\( 13u \)).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué significa proyectar una recta sobre un plano en geometría?
2. ¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras en espacios tridimensionales?
3. ¿Qué otras maneras hay para calcular distancias en el espacio?
4. ¿Cuál es la diferencia entre una distancia perpendicular y una proyección en el espacio?
5. ¿Cómo se podría resolver este problema utilizando coordenadas en el espacio?

### Consejo
En geometría tridimensional, el uso de proyecciones es clave para resolver problemas donde hay distancias en diferentes planos o direcciones.

A y B situados a uno y otro lado de un plano p, distan 2u y 10u. Si la proyección de la recta AB sobre el plano P mide 5u; calcula AB.

Solve a 3D geometry problem to find the distance AB between two points on opposite sides of a plane, given distances to the plane and the line's projection. This problem uses the Pythagorean theorem in 3D space and is suitable for high school students.

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