Vi har temperaturfunksjonen $T(x, y, z) = 10 \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2}$, som beskriver temperaturen i rommet som en funksjon av koordinatene $x$, $y$ og $z$. For å finne den retningen vi skal bevege oss i for å oppleve størst mulig økning i temperaturen, må vi beregne gradienten av temperaturfunksjonen, siden gradienten peker i retningen av den bratteste stigningen.

Trinn 1: Beregn gradienten

Gradienten $\nabla T(x, y, z)$ er vektoren som består av de partiellderiverte av $T(x, y, z)$ med hensyn til $x$, $y$ og $z$. Så vi finner:

= 10 \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2} \cdot (-2x) = -20x \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2}$$ $$\frac{\partial T}{\partial y} = -20y \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2}$$ $$\frac{\partial T}{\partial z} = -20z \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2}$$ Dermed er gradienten: $$\nabla T(x, y, z) = \left( -20x \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2}, -20y \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2}, -20z \cdot e^{-x^2 - y^2 - z^2} \right)$$ ### Trinn 2: Beregn gradienten i punktet $$(-2, 4, 2)$$ Vi setter inn $$x = -2$$, $$y = 4$$ og $$z = 2$$ i gradienten: $$\nabla T(-2, 4, 2) = \left( -20(-2) \cdot e^{-(-2)^2 - 4^2 - 2^2}, -20(4) \cdot e^{-(-2)^2 - 4^2 - 2^2}, -20(2) \cdot e^{-(-2)^2 - 4^2 - 2^2} \right)$$ Først beregner vi eksponenten: $$(-2)^2 + 4^2 + 2^2 = 4 + 16 + 4 = 24$$ Så har vi: $$e^{-24}$$ Gradienten blir dermed: $$\nabla T(-2, 4, 2) = \left( 40 \cdot e^{-24}, -80 \cdot e^{-24}, -40 \cdot e^{-24} \right)$$ Dette er retningen i rommet hvor temperaturøkningen er størst. Vi kan uttrykke den normaliserte retningen som: $$(40, -80, -40)$$ ### Trinn 3: Beregn stigningstallet (rate of change) Stigningstallet for temperaturen i denne retningen er gitt av størrelsen (normen) til gradientvektoren. Normen $$|\nabla T|$$ er: $$|\nabla T| = \sqrt{(40 \cdot e^{-24})^2 + (-80 \cdot e^{-24})^2 + (-40 \cdot e^{-24})^2} = e^{-24} \cdot \sqrt{40^2 + (-80)^2 + (-40)^2}$$ $$|\nabla T| = e^{-24} \cdot \sqrt{1600 + 6400 + 1600} = e^{-24} \cdot \sqrt{9600} = e^{-24} \cdot 97.98$$ Dermed er stigningstallet for temperaturen: $$97.98 \cdot e^{-24}$$ ### Konklusjon: 1. Retningen du skal bevege deg i for å oppleve størst mulig økning i temperatur er i retningen av vektoren $$(40, -80, -40)$$. 2. Stigningstallet for temperaturen i denne retningen er $$97.98 \cdot e^{-24}$$, som er et veldig lite tall, siden $$e^{-24}$$ er svært nær null. Ønsker du mer detaljer om noen av stegene, eller har du spørsmål? **Oppfølgingsspørsmål:** 1. Hvordan tolkes gradienten geometrisk? 2. Hva skjer med temperaturen dersom man beveger seg vinkelrett på gradienten? 3. Hva er den fysiske betydningen av et negativt stigningstall for temperaturen? 4. Hvordan ville resultatet endret seg om vi var i et annet punkt, f.eks. $$(0, 0, 0)$$? 5. Hvordan påvirker størrelsen på gradienten stigningstallet i forskjellige punkter? **Tips**: Husk at gradienten alltid peker i retningen hvor funksjonen vokser raskest.