Tehtävänä on laskea vektorikentän $\mathbf{F} = y e^z \mathbf{i} + x^2 e^z \mathbf{j} + xy \mathbf{k}$ vuo pallopinnan $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$, $a > 0$, yli. Voimme käyttää Gaussin divergenssilauseen:

Gaussin divergenssilause:

$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV,$ missä $\partial V$ on suljetun pinnan rajaama tilavuus ja $\nabla \cdot \mathbf{F}$ on vektorikentän divergenssi.

Vaihe 1: Laske $\nabla \cdot \mathbf{F}$

Vektorikentän divergenssi on määritelty: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z},$ missä $F_x = y e^z, \quad F_y = x^2 e^z, \quad F_z = xy.$

Lasketaan osittaisderivaatat: $\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y e^z) = 0,$ $\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 e^z) = 0,$ $\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xy) = 0.$

Näin ollen: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0 + 0 + 0 = 0.$

Vaihe 2: Käytä Gaussin divergenssilauseen tulosta

Koska $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$, Gaussin divergenssilauseen mukaan vuo on: $\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iiint_V 0 \, dV = 0.$

Vastaus:

Vektorikentän $\mathbf{F}$ vuo pallopinnan $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ yli on: $\boxed{0}.$

Haluatko tarkempia yksityiskohtia?

1. Mikä on vuon fysikaalinen merkitys?
2. Voidaanko tämä lauseke yleistää muihin pintoihin?
3. Miten Gaussin divergenssilause liittyy Stokesin lauseeseen?
4. Voisiko vuo olla epätriviaali muilla vektorikentillä?
5. Miten divergenssilause toimii epäeuklidisessa avaruudessa?

Vinkki: Divergenssin nolla tarkoittaa, että vektorikenttä on "solenoidaalinen" eli sillä ei ole nettolähteitä tai -n