要求向量场 $\mathbf{F}(x,y,z) = (y, -x, z)$ 在球面 $S$ 上的流量，我们可以使用高斯定理（散度定理）。散度定理将向量场通过闭合曲面的通量转化为该向量场的散度在曲面包围的体积上的体积分。

首先，我们来计算向量场 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 的散度。

$\text{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial (-x)}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}$

计算各项的偏导数：

$\frac{\partial y}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial (-x)}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial z} = 1$

因此，散度为：

$\text{div} \mathbf{F} = 0 + 0 + 1 = 1$

根据散度定理，向量场 $\mathbf{F}$ 在球面 $S$ 上的流量等于其散度在球体 $V$ 内的体积分：

$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$

球的体积 $V$ 是半径为 1 的球体，其体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3$，其中 $R = 1$。因此体积 $V$ 为：

$V = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$

由于散度在整个球体 $V$ 内为常数 1，体积分就变为散度乘以体积：

$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = 1 \cdot \frac{4}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi$

因此，向量场 $\mathbf{F}$ 在球面 $S$ 上的流量为：

$\boxed{\frac{4}{3}\pi}$

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提供的五个问题：

1. 如何计算一个向量场的旋度？
2. 什么是格林公式及其应用？
3. 如何使用曲线积分计算向量场的流量？
4. 如何求解偏微分方程？
5. 如何推导和应用斯托克斯定理？

提示：

在计算涉及向量场和曲面的积分时，合理利用定理（如散度定理和斯托克斯定理）可以简化计算过程。