26. Die Zufallsvariable X nehme die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 1/2, 1/3 bzw. 1/6 an. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X.

Um den Erwartungswert (Mittelwert) und die Varianz der Zufallsvariable \( X \) zu berechnen, die die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) bzw. \(\frac{1}{6}\) annimmt, gehen wir folgendermaßen vor:

### Erwartungswert
Der Erwartungswert \( E(X) \) einer Zufallsvariable \( X \) ist definiert als die Summe der Produkte aus den Werten der Zufallsvariablen und ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \]

Für unsere Zufallsvariable \( X \) ist das:

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} \]

Berechnen wir jeden Term:

\[ 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
\[ 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
\[ 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \]

Nun summieren wir diese Terme:

\[ E(X) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \]

Um diese Summe zu berechnen, bringen wir alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner, in diesem Fall 6:

\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \]
\[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \]
\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \]

Jetzt können wir die Terme addieren:

\[ E(X) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

Der Erwartungswert \( E(X) \) ist also:

\[ E(X) = \frac{5}{3} \]

### Varianz
Die Varianz \( \text{Var}(X) \) einer Zufallsvariable \( X \) ist definiert als der Erwartungswert des Quadrats der Abweichung von \( X \) vom Erwartungswert \( E(X) \):

\[ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] \]

Dies lässt sich umformen zu:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

Zuerst berechnen wir \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} \]

Berechnen wir jeden Term:

\[ 1^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
\[ 2^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
\[ 3^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

Nun summieren wir diese Terme:

\[ E(X^2) = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} \]

Um diese Summe zu berechnen, bringen wir alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner, in diesem Fall 6:

\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \]
\[ \frac{4}{3} = \frac{8}{6} \]
\[ \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \]

Jetzt können wir die Terme addieren:

\[ E(X^2) = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \]

Die Varianz ist also:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{10}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{10}{3} - \frac{25}{9} \]

Um diese Differenz zu berechnen, bringen wir beide Terme auf den Nenner 9:

\[ \frac{10}{3} = \frac{30}{9} \]

Also:

\[ \text{Var}(X) = \frac{30}{9} - \frac{25}{9} = \frac{5}{9} \]

Die Varianz \( \text{Var}(X) \) ist somit:

\[ \text{Var}(X) = \frac{5}{9} \]

### Zusammenfassung
- Erwartungswert \( E(X) = \frac{5}{3} \)
- Varianz \( \text{Var}(X) = \frac{5}{9} \)

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Hier sind 5 weitere Fragen, die Sie stellen könnten:
1. Wie berechnet man den Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariable?
2. Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
3. Wie interpretiert man den Erwartungswert in praktischen Anwendungen?
4. Welche Rolle spielt die Varianz in der Statistik?
5. Wie berechnet man die Varianz bei einer größeren Anzahl von Zufallsvariablen?

**Tipp:** Der Erwartungswert gibt den durchschnittlichen Wert einer Zufallsvariablen an, während die Varianz die Streuung der Werte um den Erwartungswert beschreibt.

Learn how to calculate the expected value and variance of a discrete random variable X that takes values 1, 2, and 3 with probabilities 1/2, 1/3, and 1/6 respectively. Understand the formulas for expected value and variance, and see step-by-step calculations with detailed explanations.

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