Die Zufallsvariable X nehme die Werte 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeit 1/6 an. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X.

Um den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariable \( X \) zu berechnen, die die Werte 1, 2 und 3 mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\) annimmt, gehen wir wie folgt vor:

### Erwartungswert
Der Erwartungswert \( E(X) \) einer Zufallsvariablen \( X \) ist definiert als die Summe der Produkte aus den Werten der Zufallsvariablen und ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \]

Für unsere Zufallsvariable \( X \) ist das:

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} \]

Berechnen wir jeden Term:

\[ 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \]
\[ 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
\[ 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Nun summieren wir diese Terme:

\[ E(X) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \]

Um diese Summe zu berechnen, bringen wir alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner, in diesem Fall 6:

\[ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \]
\[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \]
\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \]

Jetzt können wir die Terme addieren:

\[ E(X) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

Der Erwartungswert \( E(X) \) ist also:

\[ E(X) = 1 \]

### Varianz
Die Varianz \( \text{Var}(X) \) einer Zufallsvariablen \( X \) ist definiert als der Erwartungswert des Quadrats der Abweichung von \( X \) vom Erwartungswert \( E(X) \):

\[ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] \]

Dies lässt sich umformen zu:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

Zuerst berechnen wir \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} \]

Berechnen wir jeden Term:

\[ 1^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \]
\[ 2^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
\[ 3^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

Nun summieren wir diese Terme:

\[ E(X^2) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \]

Um diese Summe zu berechnen, bringen wir alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner, in diesem Fall 6:

\[ \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \]
\[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \]
\[ \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \]

Jetzt können wir die Terme addieren:

\[ E(X^2) = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]

Die Varianz ist also:

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{7}{3} - (1)^2 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \]

Die Varianz \( \text{Var}(X) \) ist somit:

\[ \text{Var}(X) = \frac{4}{3} \]

### Zusammenfassung
- Erwartungswert \( E(X) = 1 \)
- Varianz \( \text{Var}(X) = \frac{4}{3} \)

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Hier sind 5 weitere Fragen, die Sie stellen könnten:
1. Wie berechnet man die Standardabweichung aus der Varianz?
2. Was sind die Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsvariablen?
3. Wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine größere Anzahl von Zufallsvariablen?
4. Was ist der Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen?
5. Wie verwendet man den Erwartungswert in der Entscheidungsfindung?

**Tipp:** In der Statistik beschreibt der Erwartungswert den Durchschnittswert einer Zufallsvariablen, während die Varianz angibt, wie stark die Werte um diesen Durchschnittswert streuen.

Learn how to calculate the expected value and variance of a discrete probability distribution where the random variable takes values 1, 2, and 3 with equal probabilities. Detailed step-by-step solution included.

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