Ratkaisu:

Liikemäärämomentti $L$ määritellään kaavasta:

$L = I\omega$

missä:

• $I$ on hitausmomentti
• $\omega$ on kulmanopeus.

Tarkastellaan kumpaakin tapausta erikseen:

---

(a) Maapallon liikemäärämomentti sen kiertäessä Aurinkoa:

Maapallon hitausmomentti ympyräradalla määritellään:

$L = m_E r v,$

missä:

• $m_E = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}$,
• $r = 1,50 \times 10^{11} \, \text{m}$,
• $v = r \omega$, ja $\omega = \frac{2\pi}{T}$, missä $T = 1 \, \text{vuosi}$.

Vuoden aika $T$ sekunteina on:

$T = 365,25 \times 24 \times 3600 = 31 557 600 \, \text{s}.$

Kulmanopeus:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{31 557 600} \approx 1,99 \times 10^{-7} \, \text{rad/s}.$

Nopeus $v$:

$v = r \omega = (1,50 \times 10^{11})(1,99 \times 10^{-7}) \approx 29 850 \, \text{m/s}.$

Liikemäärämomentti:

$L = m_E r v = (5,97 \times 10^{24})(1,50 \times 10^{11})(29 850) \approx 2,67 \times 10^{40} \, \text{kg m}^2/\text{s}.$

---

(b) Maapallon liikemäärämomentti sen pyöriessä akselinsa ympäri:

Hitausmomentti $I$ umpinaiselle pallolle lasketaan:

$I = \frac{2}{5} m_E R_E^2,$

missä:

• $R_E = 6,38 \times 10^6 \, \text{m}$.

Hitausmomentti:

$I = \frac{2}{5}(5,97 \times 10^{24})(6,38 \times 10^6)^2 \approx 9,72 \times 10^{37} \, \text{kg m}^2.$

Kulmanopeus $\omega$ pyörimiselle saadaan:

$\omega = \frac{2\pi}{T},$

missä $T = 24 \times 3600 = 86 400 \, \text{s}$. Kulmanopeus:

$\omega = \frac{2\pi}{86 400} \approx 7,27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}.$

Liikemäärämomentti:

$L = I \omega = (9,72 \times 10^{37})(7,27 \times 10^{-5}) \approx 7,06 \times 10^{33} \, \text{kg m}^2/\text{s}.$

---

Lopputulos:

(a) Maapallon liikemäärämomentti Aurinkoa kiertäessä:

$L = 2,67 \times 10^{40} \, \text{kg m}^2/\text{s}.$

(b) Maapallon pyörimisen liikemäärämomentti:

$L = 7,06 \times 10^{33} \, \text{kg m}^2/\text{s}.$

Haluatko yksityiskohtaisempia selityksiä tai lisää esimerkkejä?

Liittyviä kysymyksiä:

1. Miten kulmanopeus vaikuttaa liikemäärämomenttiin?
2. Miten maapallon massan epätasaisuus voisi vaikuttaa laskuihin?
3. Kuinka liikemäärämomentti muuttuisi, jos maapallon rata ei olisi ympyrä?
4. Voiko liikemäärämomentti säilyä, jos Maapallon massa muuttuisi?
5. Miksi hitausmomentti lasketaan eri tavoilla eri kappaleille?

Vinkki: Liikemäärämomentti säilyy eristetyssä systeemissä, ellei ulkopuolisia voimia vaikuta. Tämä periaate on keskeinen astrofysiikassa!