Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 12 cm. Titik P terletak pada rusuk EF dengan perbandingan EP : PF = 1 : 3. Jarak titik B ke ruas garis PG adalah

Untuk menentukan jarak titik B ke ruas garis PG dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm dan titik P pada rusuk EF dengan perbandingan EP:PF = 1:3, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Identifikasi titik koordinat**: 
   - Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 12 cm.
   - Ambil \( A \) sebagai (0,0,0), \( B \) sebagai (12,0,0), \( C \) sebagai (12,12,0), \( D \) sebagai (0,12,0), \( E \) sebagai (0,0,12), \( F \) sebagai (12,0,12), \( G \) sebagai (12,12,12), dan \( H \) sebagai (0,12,12).

2. **Koordinat titik P**:
   - Titik P berada pada rusuk EF dengan perbandingan EP:PF = 1:3.
   - Maka, \( P \) membagi \( EF \) dalam rasio 1:3. Karena \( E \) berada pada (0,0,12) dan \( F \) pada (12,0,12), koordinat \( P \) dapat dihitung sebagai:
     \[
     P = \left(\frac{1}{4} \cdot 12 + \frac{3}{4} \cdot 0, 0, 12\right) = (3, 0, 12)
     \]

3. **Koordinat titik G**:
   - Titik G berada pada (12,12,12).

4. **Persamaan parametris garis PG**:
   - Persamaan garis yang melalui P dan G dapat ditulis sebagai:
     \[
     \vec{PG} = (3,0,12) + t((12-3),(12-0),(12-12)) = (3,0,12) + t(9,12,0)
     \]
     \[
     (x, y, z) = (3 + 9t, 12t, 12)
     \]

5. **Jarak titik B ke garis PG**:
   - Titik \( B \) adalah (12,0,0).
   - Gunakan rumus jarak titik ke garis dalam ruang:
     \[
     \text{Jarak} = \frac{|\vec{AB} \times \vec{PG}|}{|\vec{PG}|}
     \]
     \[
     \vec{AB} = (12-3, 0-0, 0-12) = (9, 0, -12)
     \]
     \[
     \vec{PG} = (9, 12, 0)
     \]
     Hitung cross product:
     \[
     \vec{AB} \times \vec{PG} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
     9 & 0 & -12 \\
     9 & 12 & 0 \\
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i}(0 - (-144)) - \mathbf{j}(-108 - 0) + \mathbf{k}(108 - 0) 
     = (144, 108, 108)
     \]
     Magnitude of cross product:
     \[
     |\vec{AB} \times \vec{PG}| = \sqrt{144^2 + 108^2 + 108^2} = \sqrt{20736 + 11664 + 11664} = \sqrt{44064} = 210
     \]
     Magnitude of \(\vec{PG}\):
     \[
     |\vec{PG}| = \sqrt{9^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
     \]
     Jadi, jarak:
     \[
     \text{Jarak} = \frac{210}{15} = 14
     \]

Jadi, jarak titik B ke ruas garis PG adalah 14 cm.

**Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan lain?**

### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana menentukan koordinat titik-titik pada kubus lainnya?
2. Bagaimana cara menggunakan persamaan parametris untuk menentukan posisi titik di ruang?
3. Apa itu cross product dan bagaimana cara menghitungnya?
4. Bagaimana menentukan panjang rusuk dari sebuah kubus jika diberi koordinat beberapa titik?
5. Bagaimana cara menentukan jarak antara dua garis dalam ruang?
6. Bagaimana menentukan titik tengah dari sebuah garis di ruang 3D?
7. Apa perbedaan antara jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang?
8. Bagaimana cara mengonversi koordinat kartesian ke koordinat polaris?

### Tip:
Selalu periksa kembali perhitungan langkah demi langkah untuk memastikan tidak ada kesalahan dalam proses penghitungan matematis.

Learn how to calculate the distance from point B to line PG in a 3D space cube with a step-by-step solution. This problem involves geometry, coordinate geometry, and vector calculus. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation