Calculeaza determinantul lui \begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\ 1&1-\lambda \:&1\\ 0&1&-\lambda \:\end{pmatrix}

Determinantul unei matrice \(3 \times 3\) poate fi calculat folosind regula standard:

\[
\text{Determinant} = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
\]

Pentru matricea dată:

\[
A = \begin{pmatrix} 
-\lambda & 1 & 0 \\ 
1 & 1-\lambda & 1 \\ 
0 & 1 & -\lambda 
\end{pmatrix},
\]

elementele sunt:
\[
a = -\lambda, \, b = 1, \, c = 0, \, d = 1, \, e = 1-\lambda, \, f = 1, \, g = 0, \, h = 1, \, i = -\lambda.
\]

Substituim în formula determinantului:

\[
\text{Det}(A) = (-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - (1)(1)) - (1)((1)(-\lambda) - (0)(1)) + (0)((1)(1) - (0)(1-\lambda)).
\]

Rezolvăm fiecare termen:

1. \((1-\lambda)(-\lambda) - 1 = -\lambda + \lambda^2 - 1\),
2. \(1(-\lambda) - 0 = -\lambda\),
3. \((0)((1) - 0) = 0\).

Astfel:

\[
\text{Det}(A) = (-\lambda)(-\lambda + \lambda^2 - 1) - (-\lambda).
\]

Simplificăm:

\[
\text{Det}(A) = \lambda(\lambda - \lambda^2 + 1) + \lambda,
\]

\[
\text{Det}(A) = \lambda^2 - \lambda^3 + \lambda + \lambda.
\]

Adunăm termenii:

\[
\text{Det}(A) = -\lambda^3 + \lambda^2 + 2\lambda.
\]

Răspuns final:

\[
\text{Det}(A) = -\lambda^3 + \lambda^2 + 2\lambda.
\]

---

**Ai întrebări sau dorești explicații suplimentare?**

### Întrebări relevante:
1. Ce este un determinant și cum se interpretează geometric?
2. Cum poate fi folosită regula cofactorilor pentru a verifica rezultatul?
3. Care sunt aplicațiile practice ale determinantului în rezolvarea ecuațiilor liniare?
4. Cum afectează valorile proprii determinantul matricei?
5. Cum se calculează determinantul pentru matrici de ordin superior?

**Tip:** Determinantul unei matrice pătrate \( n \times n \) este zero dacă matricea este singulară (adică nu are inversă).

Calculeaza determinantul lui \begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\ 1&1-\lambda &1\\ 0&1&-\lambda \end{pmatrix}

Explore how to calculate the determinant of a 3x3 matrix containing variable λ. This solution includes detailed steps, explanations, and the application of the determinant formula, making it perfect for students in Grades 11-12 studying linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation