Math Problem Statement
beräkna determinanten av beräkna [1−λ -1 1 -1 1−λ 0 1 0 1−λ]
Solution
Vi har en 3x3-matris som ser ut så här:
1 - \lambda & -1 & 1 \\ -1 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$ För att beräkna determinanten av matrisen $$A$$, använder vi formeln för determinanter av en 3x3-matris: $$\text{det}(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)$$ För en matris: $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$ ### Tillämpar detta på vår matris: $$A = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -1 & 1 \\ -1 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$ Sätt in värdena: $$a = 1 - \lambda, \quad b = -1, \quad c = 1$$ $$d = -1, \quad e = 1 - \lambda, \quad f = 0$$ $$g = 1, \quad h = 0, \quad i = 1 - \lambda$$ Nu beräknar vi determinanten steg för steg: 1. Första termen: $$a(ei − fh)$$: $$(1 - \lambda) \left( (1 - \lambda)(1 - \lambda) - (0)(0) \right) = (1 - \lambda)((1 - \lambda)^2)$$ $$= (1 - \lambda)^3$$ 2. Andra termen: $$-b(di − fg)$$: $$-(-1) \left( (-1)(1 - \lambda) - (0)(1) \right) = (1)((-1)(1 - \lambda)) = -(1 - \lambda)$$ 3. Tredje termen: $$c(dh − eg)$$: $$(1) \left( (-1)(0) - (1 - \lambda)(1) \right) = (1)(-(1 - \lambda)) = -(1 - \lambda)$$ Nu lägger vi samman alla termer: $$\text{det}(A) = (1 - \lambda)^3 - (1 - \lambda) - (1 - \lambda)$$ Förenkla: $$\text{det}(A) = (1 - \lambda)^3 - 2(1 - \lambda)$$ $$\text{det}(A) = (1 - \lambda)\left( (1 - \lambda)^2 - 2 \right)$$ $$\text{det}(A) = (1 - \lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 1)$$ Så determinanten av matrisen är: $$\boxed{(1 - \lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 1)}$$ Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor? Här är 5 relaterade frågor att tänka på: 1. Hur beräknas determinanten av en 2x2-matris? 2. Hur används determinanter för att lösa system av linjära ekvationer? 3. Vad innebär det om determinanten av en matris är noll? 4. Hur påverkar egenvärdena för en matris dess determinant? 5. Vad är sambandet mellan en matris och dess transponat när det gäller determinanten? **Tips:** Om determinanten av en matris är noll, är matrisen singulär och har ingen invers.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Determinants
Eigenvalues
Formulas
Determinant of a 3x3 matrix: det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Theorems
Determinant Theorem
Eigenvalue Theorem
Suitable Grade Level
Grades 11-12