青，赤，黒の三種類の玉が10個ずつある。この中から20個の玉を選ぶときに得られる色のパターンが何通りあるか求めよ。

この問題は、三種類の色（青、赤、黒）からそれぞれの玉を選んで合計20個にする組み合わせの問題です。これは、**重複組合せ**を利用して解決します。

青を \( x_1 \) 、赤を \( x_2 \) 、黒を \( x_3 \) として、以下の方程式を考えます。

\[
x_1 + x_2 + x_3 = 20
\]

ただし、各 \( x_i \) は \( 0 \leq x_i \leq 10 \) を満たす整数です。

この条件を満たす組み合わせを数えるためには、次の手順を行います。

### 1. 制約を無視した場合の組み合わせ
制約 \( 0 \leq x_i \leq 10 \) を無視すると、単純に三項の非負整数の和が20となる組み合わせの数を求めればよいので、これは**重複組合せ**の公式を用いて次のように計算できます：

\[
\text{制約なしの組み合わせ数} = \binom{20+3-1}{3-1} = \binom{22}{2} = \frac{22 \times 21}{2} = 231
\]

### 2. 制約 \( x_i \leq 10 \) を満たす条件を考慮
次に、制約 \( x_i \leq 10 \) を満たす必要があります。これを満たさない場合を考え、それを全体の数から引きます。

- 例えば、もし \( x_1 > 10 \) の場合、\( y_1 = x_1 - 11 \) とおくと、\( y_1 + x_2 + x_3 = 9 \) という方程式になります。この組み合わせの数は：

\[
\binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55
\]

同様に、\( x_2 > 10 \) または \( x_3 > 10 \) の場合も同じ55通りになります。

これらを合計すると、条件を満たさない場合の組み合わせ数は

\[
3 \times 55 = 165
\]

### 3. 包除原理の適用
しかし、二つ以上の色が11個以上の場合も考慮する必要があります。この場合、例えば \( x_1 > 10 \) かつ \( x_2 > 10 \) とすると、同様に \( y_1 = x_1 - 11 \) 、 \( y_2 = x_2 - 11 \) とおいて、\( y_1 + y_2 + x_3 = -2 \) となり、解は存在しません。同様に他の組み合わせも無視できます。

### 4. 結論
したがって、最終的な色のパターンの総数は次の通りです：

\[
231 - 165 = 66
\]

**答え：66通り**

何か詳細を確認しますか、または他に質問がありますか？  
次の8つの関連する質問を提案します：
1. 重複組合せの公式とは何ですか？
2. 包除原理とはどういうものですか？
3. 制約を無視した場合の計算方法の詳細を教えてください。
4. なぜ \( x_1 + x_2 + x_3 = 20 \) という式が使われるのですか？
5. 他の色の組み合わせ問題の例を教えてください。
6. 二項定理がどのように関与するか説明できますか？
7. 制約 \( x_i \leq 10 \) の場合をもっと簡単に計算する方法はありますか？
8. この問題が「整数解の数」に関連する理由を教えてください。

**Tip:** 重複組合せの公式を覚えると、様々なパターンの組み合わせ問題に簡単に対処できます。

Explore how to calculate the number of color patterns obtainable by selecting 20 balls from three types (blue, red, black), each with 10 balls. This problem uses combinatorial principles like binomial coefficients and the inclusion-exclusion principle. Suitable for advanced high school students.

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