この問題は、三種類の色（青、赤、黒）からそれぞれの玉を選んで合計20個にする組み合わせの問題です。これは、重複組合せを利用して解決します。

青を $x_1$ 、赤を $x_2$ 、黒を $x_3$ として、以下の方程式を考えます。

$x_1 + x_2 + x_3 = 20$

ただし、各 $x_i$ は $0 \leq x_i \leq 10$ を満たす整数です。

この条件を満たす組み合わせを数えるためには、次の手順を行います。

1. 制約を無視した場合の組み合わせ

制約 $0 \leq x_i \leq 10$ を無視すると、単純に三項の非負整数の和が20となる組み合わせの数を求めればよいので、これは重複組合せの公式を用いて次のように計算できます：

$\text{制約なしの組み合わせ数} = \binom{20+3-1}{3-1} = \binom{22}{2} = \frac{22 \times 21}{2} = 231$

2. 制約 $x_i \leq 10$ を満たす条件を考慮

次に、制約 $x_i \leq 10$ を満たす必要があります。これを満たさない場合を考え、それを全体の数から引きます。

• 例えば、もし $x_1 > 10$ の場合、$y_1 = x_1 - 11$ とおくと、$y_1 + x_2 + x_3 = 9$ という方程式になります。この組み合わせの数は：

$\binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55$

同様に、$x_2 > 10$ または $x_3 > 10$ の場合も同じ55通りになります。

これらを合計すると、条件を満たさない場合の組み合わせ数は

$3 \times 55 = 165$

3. 包除原理の適用

しかし、二つ以上の色が11個以上の場合も考慮する必要があります。この場合、例えば $x_1 > 10$ かつ $x_2 > 10$ とすると、同様に $y_1 = x_1 - 11$ 、 $y_2 = x_2 - 11$ とおいて、$y_1 + y_2 + x_3 = -2$ となり、解は存在しません。同様に他の組み合わせも無視できます。

4. 結論

したがって、最終的な色のパターンの総数は次の通りです：

$231 - 165 = 66$

答え：66通り

何か詳細を確認しますか、または他に質問がありますか？
次の8つの関連する質問を提案します：

1. 重複組合せの公式とは何ですか？
2. 包除原理とはどういうものですか？
3. 制約を無視した場合の計算方法の詳細を教えてください。
4. なぜ $x_1 + x_2 + x_3 = 20$ という式が使われるのですか？
5. 他の色の組み合わせ問題の例を教えてください。
6. 二項定理がどのように関与するか説明できますか？
7. 制約 $x_i \leq 10$ の場合をもっと簡単に計算する方法はありますか？
8. この問題が「整数解の数」に関連する理由を教えてください。

Tip: 重複組合せの公式を覚えると、様々なパターンの組み合わせ問題に簡単に対処できます。